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沪科版18.1 勾股定理精品单元测试课堂检测
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这是一份沪科版18.1 勾股定理精品单元测试课堂检测，共20页。试卷主要包含了点P等内容，欢迎下载使用。
第18章 勾股定理
考试时间：120分钟
一、 选择题（每小题4分，共40分）
1．点P（﹣3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．﹣4 D．5
【分析】利用两点间距离公式进行计算即可解答．
【解答】解：点P（﹣3，4）到坐标原点（0，0）的距离是：
＝＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键．
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
3．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断，即可得到这个三角形的最大角的度数．
【解答】解：∵三角形的三边分别为，，2，
∴＝，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大角的度数为90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
4．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝
C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：A、因为∠A+∠B＝∠C，所以∠C＝90°，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为（）2+（）2≠（）2，所以△ABC不为直角三角形，故本选项符合题意；
C、因为（b+a）（b﹣a）＝c2，所以a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为∠A：∠B：∠C＝5：3：2，所以∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．也考查了三角形内角和定理．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．
【解答】解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；
图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；
图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；
图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．
即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
6．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．
【解答】解：∵AB＝6，
∴该正方体的棱长为＝，
∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，
所以该正方体A、B两点间的距离为3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，得出正方体的棱长是解题关键．
7．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）cm2．
A．169 B．25 C．49 D．64
【分析】由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12（cm），
∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），
∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+32＝18；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+3）2+12＝26；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（3+1）2+22＝20．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE＝90°，CD＝，则AB的长为（ ）
A． B．+1 C．2 D．
【分析】过点A作AF⊥AE交BC于点F，根据等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠DCE＝90°，可得△BAF≌△CAE（ASA），即得AF＝AE＝AD，知∠AFD＝∠ADF，而∠AEC＝180°﹣∠AFD，∠ADC＝180°﹣∠ADF，有∠AEC＝∠ADC，从而△ACD≌△ACE（AAS），即得CD＝CE＝，△DCE是等腰直角三角形，故CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，又AG＝＝，即可得答案．
【解答】解：过点A作AF⊥AE交BC于点F，如图：
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，AB＝AC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝45°＝∠B，
∵∠BAF＝BAC﹣∠FAC＝90°﹣∠FAC＝∠EAC，
∴△BAF≌△CAE（ASA），
∴AF＝AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴AF＝AE＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
在四边形AFCE中，∠FAE＝∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AFD，
而∠ADC＝180°﹣∠ADF，
∴∠AEC＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ACE＝45°，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACE（AAS），
∴CD＝CE＝，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CG⊥DE，DE＝CD＝2，
∴CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，
在Rt△ADG中，AG＝＝，
∴AC＝AG+CG＝+1，
∴AB＝+1，
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的全等问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10．如图，在平面直角坐标系中A（0，4）、C（6，0），BC⊥x轴，存在第一象限的一点P（a，2a﹣5），使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（ ）
A．（3，1）或（3，3） B．（5，5）
C．（3，1）或（5，5） D．（3，3）
【分析】根据点P的坐标为（a，2a﹣5），即可得到点P在直线y＝2x﹣5上，再分两种情况进行讨论：点P在AB下方，点P在AB上方，分别过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，依据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系列方程，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（a，2a﹣5），
∴点P在直线y＝2x﹣5上，
分两种情况：
①如图所示，当点P在AB下方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，
∵∠AEP＝∠APB＝∠PDB＝90°，
∴∠APE＝∠PBD，
又∵AP＝PB，
∴△APE≌△PBD（AAS），
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝AE+OE，
∴4＝6﹣a+2a﹣5，
解得a＝3，
∴P（3，1）；
②如图所示，当点P在AB上方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，
同理可得，△APE≌△PBD，
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝OE﹣AE，
∴4＝2a﹣5﹣（6﹣a），
解得a＝5，
∴P（5，5）；
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，过已知点向坐标轴作平行线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
二．填空题（共4小题）
11．在Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+BC2+AC2的值为 18 ．
【分析】由直角三角形结合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出结果．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝3，
∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，
∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 1.6 米．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 14 米．
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，
由勾股定理得BC＝＝＝8（米），
则AC+BC＝14（米），
故答案为：14．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAH＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCH，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，解方程组得到BC•AC＝26，接着通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49，
∴AB2+2AC•BC＝49，
∵AB2﹣S△ABC＝16，
∴AB2﹣AC•BC＝16，
∴BC•AC＝，
∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+3S△ABC﹣AB2＝3S△ABC＝BC•AC＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
三．解答题（共9小题）
15．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
【分析】（1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
（2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD＝MN＝1.6米，AB＝2米，
由作法得，CE＝DE＝0.8米，
又∵OC＝OA＝1米，
在Rt△OCE中，OE＝≈0.6（米），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：
根据题意可知：CG＝BE＝2.8米，BG＝OF＝1.2米，EF＝AD＝2.3米，
∴BF＝0.5米
∴根据勾股定理有：OA2＝OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32（米），
∴OA＝1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6（米）．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理AB＝，代入求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．
（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
由勾股定理可得，AB＝＝＝25，
∴AB的长是25；
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理可得，BD＝＝＝9，
∴BD的长为9．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．
17．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．
（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；
（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BE＝（m）；
（2）由（1）同理得DE＝2CE＝80（m），从而求出BD的长；
（3）利用勾股定理求出AB，CD的长，即可判断．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝30°，
∴BE＝（m），
∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；
（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°
∴∠D＝∠BAE＝30°，
∴DE＝2CE＝80（m），
∴DE+BE＝80+40＝120（m），
∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；
（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB＝＝40（m），
CD＝＝40（m），
∴AB＝CD，
∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10﹣x）尺，
根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
∴折断处离地面4.55尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．
（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．
【分析】（1）连接AC，利用勾股定理判断△ADC是否为直角三角形．
（2）利用分割法，分为△ABC和△ADC，求四边形面积，
【解答】解：连接AC，如图，
，
在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，
∴AC＝＝25 m，
在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，
∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．
（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，
∴S△ADC＝＝150 m²，
∵S△ABC＝ m²，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．
【点评】本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形或者能够根据是否满足勾股定理判断三角形是否为直角三角形．
20．图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．
（1）两轮中心AB之间的距离为 6 dm；
（2）若OF的长度为dm，支点F到底部DO的距离为5dm，试求∠FOD的度数．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB即可；
（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，由勾股定理得OH＝5（dm），再证△FHO是等腰直角三角形，得∠FOH＝45°，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝6（dm），
故答案为：6；
（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，如图所示：
则FH＝5dm，
在Rt△FHO中，由勾股定理得：OH＝＝＝5（dm），
∴OH＝FH，
∴△FHO是等腰直角三角形，
∴∠FOH＝45°，
∴∠FOD＝180°﹣∠FOH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FOD的度数为135°．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4，
∴AD＝3，BD＝4，
∴DC＝4，
∴AC＝．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
22．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 是 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 ：： （请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，
则2a2＝3b2，
故a：b＝：，
∴设a＝x，b＝x，
则c＝x，
∴此三角形的三边长之比为：：：．
故答案为：：：；
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，
解得：BD＝DC＝6，
则AB＝12，
故AC＝＝6，
则△ABC的面积为：×6×6＝．
当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，
解得：BD＝DC＝2，
则AB＝4，
故AC＝2，
则△ABC的面积为：×6×2＝6．
故△ABC的面积为或6．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
23．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【解答】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
第18章 勾股定理
考试时间：120分钟
一、 选择题（每小题4分，共40分）
1．点P（﹣3，4）到坐标原点的距离是（ ）
A．3 B．4 C．﹣4 D．5
【分析】利用两点间距离公式进行计算即可解答．
【解答】解：点P（﹣3，4）到坐标原点（0，0）的距离是：
＝＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，两点间距离公式，熟练掌握两点间距离公式是解题的关键．
2．在一个直角三角形中，若斜边的长是13，一条直角边的长为5，那么这个直角三角形的面积是（ ）
A．30 B．40 C．50 D．60
【分析】由勾股定理得，另一条直角边长为：，即可计算面积．
【解答】解：由勾股定理得，另一条直角边长为：，
∴这个直角三角形的面积为5×12÷2＝30，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
3．如果三角形的三边分别为，，2，那么这个三角形的最大角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断，即可得到这个三角形的最大角的度数．
【解答】解：∵三角形的三边分别为，，2，
∴＝，
∴该三角形是直角三角形，
∴这个三角形的最大角的度数为90°，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角，然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
4．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．a＝
C．（b+a）（b﹣a）＝c2 D．∠A：∠B：∠C＝5：3：2
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：A、因为∠A+∠B＝∠C，所以∠C＝90°，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
B、因为（）2+（）2≠（）2，所以△ABC不为直角三角形，故本选项符合题意；
C、因为（b+a）（b﹣a）＝c2，所以a2+c2＝b2，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为∠A：∠B：∠C＝5：3：2，所以∠A＝90°，△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．也考查了三角形内角和定理．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求A、B、C、D选项中各三角形的边长，根据勾股定理的逆定理可以判定A、B、D中三角形为直角三角形，C为钝角三角形，即可解题．
【解答】解：设网格中每个小正方形的边长是1．
图A中各边长为2、4、2，22+42＝（2）2，故该三角形为直角三角形；
图B中各边长、2、，（）2+（2）2＝（）2，故该三角形为直角三角形；
图C中三角形各边长为、、，（）2+（）2＝（）2，故该三角形为钝角三角形；
图D中各边长为、2、5，（）2+（2）2＝52，故该三角形为直角三角形．
即A、B、D是直角三角形，C不是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理．
6．如图是一正方体的平面展开图，若AB＝6，则该正方体A、B两点间的距离为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】首先求出正方体的棱长，进而得出正方体A、B两点间的距离即可．
【解答】解：∵AB＝6，
∴该正方体的棱长为＝，
∴把正方形组合起来之后会发现A、B在同一平面的对角线上，
所以该正方体A、B两点间的距离为3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，得出正方体的棱长是解题关键．
7．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠ABC＝90°，AC＝13cm，AB＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）cm2．
A．169 B．25 C．49 D．64
【分析】由勾股定理求出BC的长，则可得出答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝12（cm），
∴阴影部分正方形的边长为12﹣5＝7（cm），
∴阴影部分正方形的面积为7×7＝49（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．如图，在长为3，宽为2，高为1的长方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着长方体的表面爬行到顶点B，那么它爬行的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
【解答】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+32＝18；
（2）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+3）2+12＝26；
（3）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（3+1）2+22＝20．
所以最短路径的长为AB＝（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，勾股定理应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
9．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，等边三角形ADE的顶点D在BC边上，连接CE，已知∠DCE＝90°，CD＝，则AB的长为（ ）
A． B．+1 C．2 D．
【分析】过点A作AF⊥AE交BC于点F，根据等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，∠DCE＝90°，可得△BAF≌△CAE（ASA），即得AF＝AE＝AD，知∠AFD＝∠ADF，而∠AEC＝180°﹣∠AFD，∠ADC＝180°﹣∠ADF，有∠AEC＝∠ADC，从而△ACD≌△ACE（AAS），即得CD＝CE＝，△DCE是等腰直角三角形，故CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，又AG＝＝，即可得答案．
【解答】解：过点A作AF⊥AE交BC于点F，如图：
∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝45°，AB＝AC，
∵∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠DCE﹣∠ACB＝45°＝∠B，
∵∠BAF＝BAC﹣∠FAC＝90°﹣∠FAC＝∠EAC，
∴△BAF≌△CAE（ASA），
∴AF＝AE，
∵△ADE是等边三角形，
∴AF＝AE＝AD，
∴∠AFD＝∠ADF，
在四边形AFCE中，∠FAE＝∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝180°﹣∠AFD，
而∠ADC＝180°﹣∠ADF，
∴∠AEC＝∠ADC，
∵∠ACD＝∠ACE＝45°，AC＝AC，
∴△ACD≌△ACE（AAS），
∴CD＝CE＝，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴CG⊥DE，DE＝CD＝2，
∴CG＝1＝DG＝EG，AD＝DE＝2，
在Rt△ADG中，AG＝＝，
∴AC＝AG+CG＝+1，
∴AB＝+1，
故选：B．
【点评】本题考查等腰直角三角形中的全等问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10．如图，在平面直角坐标系中A（0，4）、C（6，0），BC⊥x轴，存在第一象限的一点P（a，2a﹣5），使得△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则点P的坐标（ ）
A．（3，1）或（3，3） B．（5，5）
C．（3，1）或（5，5） D．（3，3）
【分析】根据点P的坐标为（a，2a﹣5），即可得到点P在直线y＝2x﹣5上，再分两种情况进行讨论：点P在AB下方，点P在AB上方，分别过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，依据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系列方程，即可得到点P的坐标．
【解答】解：∵点P的坐标为（a，2a﹣5），
∴点P在直线y＝2x﹣5上，
分两种情况：
①如图所示，当点P在AB下方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，
∵∠AEP＝∠APB＝∠PDB＝90°，
∴∠APE＝∠PBD，
又∵AP＝PB，
∴△APE≌△PBD（AAS），
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝AE+OE，
∴4＝6﹣a+2a﹣5，
解得a＝3，
∴P（3，1）；
②如图所示，当点P在AB上方时，过P作x轴的平行线，交y轴于E，交BC于D，则PE＝a，OE＝2a﹣5，PD＝6﹣a，
同理可得，△APE≌△PBD，
∴AE＝PD＝6﹣a，
∵AO＝OE﹣AE，
∴4＝2a﹣5﹣（6﹣a），
解得a＝5，
∴P（5，5）；
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质的综合运用，过已知点向坐标轴作平行线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
二．填空题（共4小题）
11．在Rt△ABC中，斜边BC＝3，则AB2+BC2+AC2的值为 18 ．
【分析】由直角三角形结合勾股定理得到AB2+AC2的值，即可得出结果．
【解答】解：∵Rt△ABC中，斜边BC＝3，
∴AB2+AC2＝BC2＝32＝9，
∴AB2+BC2+AC2＝2BC2＝2×9＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 1.6 米．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米，由勾股定理得出AE＝0.9（米），则BE＝AB﹣AE＝1.6（米），即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：
则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米＝米，
在Rt△ADE中，AD＝1.5米＝米，
由勾股定理得：AE＝＝＝0.9（米），
∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米），
∴CD＝BE＝1.6米，
故答案为：1.6．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
13．如图，在高为6米，坡面长度AB为10米的楼梯表面铺上地毯，则至少需要地毯 14 米．
【分析】将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，已知斜边和一条直角边，根据勾股定理即可求另一条直角边，计算两直角边之和即可解题．
【解答】解：将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长＝两直角边的和，
由题意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，
由勾股定理得BC＝＝＝8（米），
则AC+BC＝14（米），
故答案为：14．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，本题中把求地毯长转化为求两直角边的长是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 ．
【分析】根据余角的性质得到∠FAC＝∠ABC，根据全等三角形的性质得到S△FAH＝S△ABN，推出S△ABC＝S四边形FNCH，根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，解方程组得到BC•AC＝26，接着通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解答】解：如图，
∵四边形ABGF是正方形，
∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，
∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，
∴∠FAC＝∠ABC，
∴△FAH≌△ABN（ASA），
∴S△FAH＝S△ABN，
∴S△ABC＝S四边形FNCH，
在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵AC+BC＝7，
∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝49，
∴AB2+2AC•BC＝49，
∵AB2﹣S△ABC＝16，
∴AB2﹣AC•BC＝16，
∴BC•AC＝，
∴阴影部分的面积和＝AC2+BC2+3S△ABC﹣AB2＝3S△ABC＝BC•AC＝×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
三．解答题（共9小题）
15．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m．
（1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．
（2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？
【分析】（1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案；
（2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图，M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
CD＝MN＝1.6米，AB＝2米，
由作法得，CE＝DE＝0.8米，
又∵OC＝OA＝1米，
在Rt△OCE中，OE＝≈0.6（米），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5．
∴这辆卡车能通过．
（2）如图：
根据题意可知：CG＝BE＝2.8米，BG＝OF＝1.2米，EF＝AD＝2.3米，
∴BF＝0.5米
∴根据勾股定理有：OA2＝OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32（米），
∴OA＝1.3米，
∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6（米）．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，CD⊥AB于点D．
求：（1）CD的长；
（2）BD的长．
【分析】（1）根据勾股定理AB＝，代入求出AB的长，根据三角形的面积公式，代入计算即可求出CD的长．
（2）在Rt△BCD中，直接根据勾股定理可求出BD的长．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，
由勾股定理可得，AB＝＝＝25，
∴AB的长是25；
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，
∴AC•BC＝AB•CD，
∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴20×15＝25CD，
∴CD＝12，
∴CD的长是12．
（2）∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB＝90°，
在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，BC＝15，CD＝12，
由勾股定理可得，BD＝＝＝9，
∴BD的长为9．
【点评】本题考查了勾股定理和三角形的面积公式，掌握直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用是本题的关键．
17．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE＝30°．
（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；
（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出BE＝（m）；
（2）由（1）同理得DE＝2CE＝80（m），从而求出BD的长；
（3）利用勾股定理求出AB，CD的长，即可判断．
【解答】解：（1）在Rt△ABE中，
∵∠BAE＝30°，
∴BE＝（m），
∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；
（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°
∴∠D＝∠BAE＝30°，
∴DE＝2CE＝80（m），
∴DE+BE＝80+40＝120（m），
∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；
（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：
AB＝＝40（m），
CD＝＝40（m），
∴AB＝CD，
∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
【分析】首先由竹子垂直于地面，可知此三角形是直角三角形，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求得答案．
【解答】解：设折断处离地面x 尺，则折断的度为（10﹣x）尺，
根据题意得：x2+32＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.55，
∴折断处离地面4.55尺．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
19．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．
（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；
（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．
【分析】（1）连接AC，利用勾股定理判断△ADC是否为直角三角形．
（2）利用分割法，分为△ABC和△ADC，求四边形面积，
【解答】解：连接AC，如图，
，
在Rt△ABC中，AB＝24 m，BC＝7 m，
∴AC＝＝25 m，
在△ADC中，CD＝15 m，AD＝20 m．AC＝25 m，
∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．
（2）由（1）知△ADC为直角三角形，∠D＝90°，
∴S△ADC＝＝150 m²，
∵S△ABC＝ m²，
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234 m²．
【点评】本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形或者能够根据是否满足勾股定理判断三角形是否为直角三角形．
20．图1是超市购物车，图2为超市购物车侧面示意图，测得∠ACB＝90°，支架AC＝4.8dm，CB＝3.6dm．
（1）两轮中心AB之间的距离为 6 dm；
（2）若OF的长度为dm，支点F到底部DO的距离为5dm，试求∠FOD的度数．
【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB即可；
（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，由勾股定理得OH＝5（dm），再证△FHO是等腰直角三角形，得∠FOH＝45°，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝6（dm），
故答案为：6；
（2）过点F作FH⊥DO，交DO延长线于H，如图所示：
则FH＝5dm，
在Rt△FHO中，由勾股定理得：OH＝＝＝5（dm），
∴OH＝FH，
∴△FHO是等腰直角三角形，
∴∠FOH＝45°，
∴∠FOD＝180°﹣∠FOH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠FOD的度数为135°．
【点评】本题考查了勾股定理的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若BC2＝56，AD：BD＝3：4，求AC的长．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；
（2）首先确定BD的长，进而可得CD的长，再利用勾股定理进行计算即可．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，
∴CD＝DB，
∵BD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2﹣DA2＝AC2，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；
（2）解：∵BC2＝56，AD：BD＝3：4，
∴AD＝3，BD＝4，
∴DC＝4，
∴AC＝．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
22．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 是 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 ：： （请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可；
（2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案；
（3）直接利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，进而求出答案．
【解答】解：（1）∵22+42＝4×（）2＝20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2＝c2，a2+c2＝4b2，
则2a2＝3b2，
故a：b＝：，
∴设a＝x，b＝x，
则c＝x，
∴此三角形的三边长之比为：：：．
故答案为：：：；
（3）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，△BCD是常态三角形，
∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD2＝4×62时，
解得：BD＝DC＝6，
则AB＝12，
故AC＝＝6，
则△ABC的面积为：×6×6＝．
当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝4×BD2时，
解得：BD＝DC＝2，
则AB＝4，
故AC＝2，
则△ABC的面积为：×6×2＝6．
故△ABC的面积为或6．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及新定义，正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键．
23．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ；
（2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°；
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
【分析】（1）由大正方形面积的两种计算方法即可得出结果；
（2）由全等三角形的性质得出∠BAC＝∠DCE，再由角的互余关系得出∠ACB+∠DCE＝90°，即可得出结论；
（3）先证明四边形ABDE是梯形，由四边形ABDE的面积的两种计算方法即可得出结论．
【解答】（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积＝（a+b）2，
又∵大正方形的面积＝两个小正方形的面积+两个矩形的面积＝a2+b2+ab+ab＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）证明：∵△ABC≌△CDE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝90°；
（3）证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴∠B+∠D＝180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积＝（a+b）（a+b）＝ab+c2+ab，
整理得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了完全平方公式、全等三角形的性质、正方形面积的计算、梯形面积的计算方法；熟练掌握完全平方公式和四边形面积的计算方法是解决问题的关键．
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