数学必修22.3.2圆的一般方程教案

圆的一般方程

教学目标

　　 (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．

　　 (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．

　　 (3)理解并能初步应用圆系的知识去处理问题．

　　教学重点和难点

　　重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．

　　难点：圆系的理解和应用．

　　教学过程设计

　　 (一)教师讲授：

　　请同学们看出圆的标准方程：

(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．

　　把圆的标准方程展开，并整理：

x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．

　　我们把它看成下面的形式：

　　 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 ①

　　这个方程是圆的方程．

　　反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线是圆．

②

　　 (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？

　　 (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示

　　 (2)当D2＋E2－4F=0时，方程②表示

　　 (3)当D2＋E2－4F＜0时，方程②不表示任何图形

　　∴当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．

　　做圆的一般方程．

　　现在我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

　　 (1)①x2和y2的系数相同，不等于0．

　　②没有xy这样的二次项．

　　同学们不难发现，x2和y2的系数相同，不等于0．且没有xy这样的二次项，是方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的必要条件．但不是充分条件．

　　 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

　　 (二)研究问题1，求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．

　　 [解法一]设所求圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0．

　　把已知三点的坐标代入，得三个方程，解这三个方程组成的方程组

　　∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y=0．

　　 [解法二]先求OM1和OM2的中垂线：

　　 y－1=(－2)(x－2) 2x＋y=5

　　∴所求圆的方程为，(x－4)2＋(y＋3)2=25．

　　 [分析]设动点M(x，y)，|MO|、|MA|都可表示出．

　　 解 设曲线上的动点为M(x，y)．

　　化简得 x2＋y2＋2x－3=0

　　配方 (x＋1)2＋y2=4．

　　∴所求的轨迹是以C(－1，0)为圆心，2为半径的圆．

　　研究问题3，自P0(x0，y0)作圆x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2，求证：P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．

　　 [分析]自P0(x0，y0)作图x2＋y2=r2的两切线，切点分别为P1、P2如具体去求P1、P2的坐标，则运动量是非常大的．为此我们要研究较简单的办法．

　　 P0P1、P0P2是圆O的两条切线，∠OP1P0=∠OP2P0=90°，则O、P1、P0、P2四点共圆，P1、P2为两个圆的交点，为此我们从两个圆的交点入手．

　　即 x2＋y2－x0x－y0y=0．

　　把(2)代入(1)：x0x＋y0y=r2．

　　∴P1P2所在直线的方程为x0x＋y0y=r2．

　　这里同学们可能有点不太明白，为什么由方程(1)和(2)变出的关系式x0x＋y0y=r2就是过两圆交点的直线．

　　请同学们回忆一下，我们在前面研究两条曲线交点的有关问题时，研究过这样一个定理．(课本复习题七，24题)“两条曲线的方程是f1(x，y)=0，和f2(x，y)=0，它们的交点是P(x0，y0)．求证：方程f1(x，y)＋λf2(x，y)=0的曲线也经过点P，这里λ是任意实数”．

　　根据这一定理，(x2＋y2－x0x－y0y)＋λ(x2＋y2－r2)=0．表示过两圆交点的曲线，为了消去x2，y2项，我们取λ=－1，得曲线方程，x0x＋y0y=r2，实际上是直线x0x＋y0y=r2．就是说，直线x0x＋y0y=r2过两圆的交点．

　　通过这个题，我们有下面一般的结论：

　　如果圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1=0，和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2=0相交．

　　 (1)当λ≠－1时，方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0表示过圆C1与C2交点的圆．

　　 (2)当λ=－1时，方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)=0表示过圆C1和C2交点的直线．

　　这点的证明留给同学们课后去思考，而这个结论同学们今后在解题中将会得到应用．应当注意的是：

　　方程(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)=0中由于λ取值的不同，得到不同的圆，这无数个圆形成一个集合，这个集合我们把它叫做一个圆系．这个圆系就是经过两圆交点的所有圆的集合．

　　 (三)学生课堂练习

　　 1．课本练习题1

　　 (1)点(0，0)．

　　 2．课本练习题2．

　　 (1)圆心为(3，0)，半径为3；(2)圆心为(0，－b)，半径为|b|．

　　 3．课本练习题3．

　　 (四)作业

　　习题7．7 5，6，7，8