高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

8.4.1平面（第一课时）

(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第八章)

一、教学目标

1.了解平面的概念，会用图形与字母表示平面.

2.掌握并应用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面.

3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换.

二、教学重难点

1.教学重点：三个基本事实、三个推论

2.教学难点：应用三个基本事实和推论解决问题

三、教学过程

1.平面的含义

1.1情境引入，认识平面

【实际情境】在初中,由现实事物直观感觉抽象得到了点和直线,那下图中的桌面、黑板面、平静的水面给我们以什么样的直观感觉呢？

几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.

1.2深入了解，加深认识

平面的特征：①平、②无厚薄、③无限延展.

平面的画法：①水平放置            ②竖直放置

平面的表示：

①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.

②用大写英文字母表示：平面ABCD、平面AC.

2.平面的性质

问题1：两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢?自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”,三脚架的三脚着地就可以支撑照相机. 由这些事实和类似经验说明什么？

【活动预设】

（1）观察现实生活中下某些现象，总结出一般规律.

（2）类比：类比初中学习过的两点确定一条直线，探索几点能确定一个平面？并且思考现实生活中有哪些具体的应用.

【设计意图】从现实生活入手，思考几点能确定一个平面，让同学们体会数学来源于生活，高于生活，最终也回馈于生活.

2.1基本事实1  过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

也可以简单说为：不共线的三点确定一个平面.

图形语言：

问题2：如果直线与平面α有一个公共点P,直线 是否在平面α内？如果直线 与平面α有两个公共点呢?实际生活中，我们有这样的经验：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上．

【活动预设】通过观察生活中的一些现象，从中找到一般规律.

【设计意图】通过观察、实践，体会基本事实2，通过生活中的例子加深对基本事实2的理解.

2.2基本事实2  如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

图形语言：

符号语言： .

利用基本事实1和基本事实2可得如下推论：

推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

证明：（推论1）在直线上任取两点B和C，由基本事实1得，经过A,B,C三点确定一个平面α.由基本事实2，直线也在平面α内，则平面α经过直线和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面.

用类似的方法你能说明推论2和推论3成立吗?

【活动预设】对基本事实1和基本事实2的简单应用.

【设计意图】有三个意图：其一是对两个基本事实的简单应用；其二是告诉同学们在立体几何里，除了基本事实之外的所有定理和推论都是需要证明的；其三是通过模仿推论1的证明，摸索其他两个推论的证明过程.

问题3：如何判断桌子四条腿的底端是否在同一个平面内？其依据是什么？

【预设的答案】

可以用两根细绳沿桌子四条腿的对角拉直，如果这两根细绳相交，说明桌子四条腿的底端在同一个平面内，否则就不在同一个平面内，其依据就是推论2.

【设计意图】

（1）对推论2的简单应用；

（2）让同学们体会理论可以回馈生活，体会知识是有用的，从而提升同学们学习数学的热情.

问题4：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？

【活动预设】通过观察、思考、找到一般规律：基本事实3.

【设计意图】通过对具体问题的思考，得出一般规律，让同学们体会数学来源于生活，所以我们应该多观察、多总结.

2.3基本事实3  如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

图形语言：

符号语言： .

2.4 平面的画法：在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些

三、知识应用

例1 如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并说明理由.

(1)直线BD1在平面CC1D1D内(   )

(2)平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1(   )

(3)由A,O,C确定一个平面(   )

(4)由A,C1,B1确定的平面是平面ADC1B1(   )

(5)由A,C1,B1确定的平面与由A,C1,D确定的平面是同一平面(   )

【预设的答案】×√×√√

【设计意图】通过观察，体会 3 个基本事实和推论的简单应用.

例2 如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ, CB的延长线交于M，RQ, DB的延长线交于N，RP, DC的延长线交于K.求证：M, N, K三点共线.

【预设的答案】

证明：∵M∈PQ，直线PQ 平面PQR，M∈BC，直线BC 平面BCD，∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，即M在平面PQR与平面BCD的交线上.

同理可证，N、K也在直线l上.

所以，M、N、K三点共线.

【设计意图】通过演示证明过程，让学生学会用数学语言描述解决问题的过程，同时让同学们体会解题过程需要理论依据.

四、课堂小结

1.平面的含义：

特征：①平、②无厚薄、③无限延展.

平面的表示：①用希腊字母表示：平面α、平面β、平面γ等,并写在平行四边形一个角内.

②用大写英文字母表示：平面 ABCD、平面 AC.

2.平面的性质：

(1)基本事实 1

(2)基本事实 2

(3)基本事实 3

推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

五、巩固练习

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√ ”，错误的画“×”

(1)书桌面是平面.              (     )                           

(2)平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点.    (     )

(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.   (     )

2.下列命题正确的是(     ).

(A)三点确定一个平面             (B)一条直线和一个点确定一个平面

(C)圆心和圆上两点可确定一个平面           (D)梯形可确定一个平面

3.不共面的四点可以确定几个平面?请画出图形说明你的结论.

4.用符号表示下列语句，并画出相应的图形:

(1) 点A在平面α内，点B在平面α外；

(2)直线a既在平面α内，又在平面β内.

【预设的答案】

1.××√ 2.D   3.4   

4（1）    (2) 如图

【设计意图】通过练习，巩固所学知识，加深对平面的理解.