数学必修 第二册4.2 平面教学设计

平面的基本性质

【教学目标】

1.会用符号语言规范地表述空间点、直线、平面之间的位置关系．

2.理解关于平面的三个公理和三个推论

【重点、难点】

能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解关于平面的三个公理和三个推论．

【核心素养】

1. 通过对空间点、线、面位置关系的学习，培养学生直观想象素养．

2．借助于三个基本事实与推论的应用，培养学生逻辑推理素养.

【新课讲解】

(1)平面的基本性质

①公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

基本事实1也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面．

②公理2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

用符号表示为：⇒AB⊂α.

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

用符号表示为：⇒α∩β＝l且P∈l.

 (2)基本公理的推论

①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

【深入学习】

例．下列说法正确的是(　　)

A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

D　[A错误，不共线的三点可以确定一个平面．

B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

C错误，四边形不一定是平面图形．

D正确，两条相交直线可以确定一个平面．]

例2．证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．

[解]　已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C．

求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．

法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.

又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.

又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.

∴直线l1，l2，l3在同一平面内．

法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α.

∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.

∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.

∵A∈l2，l2∈β，∴A∈β.

同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.

∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内．

∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．