高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算达标测试

6.2 1  平面向量的线性运算(精练)

【题组一 向量的加法运算】

1．(2020·全国高一课时练习)化简．

(1)．

(2)．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)；

(2).

2．(2020·江西高一期末)下列四式不能化简为的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】对B，，故B正确；

对C，，故C正确；

对D，，故D正确；故选：A.

3．(2020·全国高一课时练习)(1)如图(1)，在中，计算；

(2)如图(2)，在四边形ABCD中，计算；

(3)如图(3)，在n边形中，证明你的结论.

【答案】(1)(2)(3)，见解析

【解析】(1)

(2).

(3).

证明如下：

4．(2020·全国高一课时练习)(1)已知向量,,求作向量，使.

(2)(1)中表示,,的有向线段能构成三角形吗？

【答案】(1)见解析.

【解析】(1)方法一：如图所示，当向量,两个不共线时，作平行四边形，使得，，

则，

又，所以，即，

方法二：利用向量的三角形法则，如下图：作，使得，，，

则，即，

当向量,两个共线时，如下图：使得，，

则，，

所以，，即.

(2)向量,两个不共线时，表示,,的有向线段能构成三角形，

向量,两个共线时，,,的有向线段不能构成三角形.

5．(2020·全国高一课时练习)一艘船垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时河水流速的大小为求船实际航行的速度的大小与方向(精确到l°).

【答案】，方向与水流方向成76°角

【解析】设船的航行速度为，水流速度为，船的实际航行速度为v，v与的夹角为，则

由，得.

船实际航行的速度的大小为，方向与水流方向成76°角.

6．(2020·全国高一课时练习)一架飞机向北飞行，然后改变方向向西飞行，求飞机飞行的路程及两次位移的合成.

【答案】飞机飞行的路程为；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行.

【解析】由向量的加减运算可知：飞机飞行的路程是；两次位移的合成是向北偏西约53°，方向飞行.

【题组二 向量的减法运算】

1．(2021·全国练习)已知向量，，，求作和.

【答案】详见解析

【解析】由向量加法的三角形法则作图：

由向量三角形加减法则作图：

2．(2020·安徽滁州市))化简：(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】．故选：．

3．(2020·全国高一课时练习)化简：

(1)；           (2)；

(3)；     (4)；

(5)；           (6)；

(7).

【答案】(1).(2)(3).

(4)(5)(6).(7)

【解析】(1)原式.

(2)原式

(3)原式.

(4)原式

(5)原式

(6)原式.

(7)原式

4．(多选)(2020·全国高三专题练习)下列各式中，结果为零向量的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】对于选项：，选项不正确；

对于选项： ，选项正确；

对于选项：，选项不正确；

对于选项：

选项正确.

故选：BD

5．(多选)(2020·全国高一课时练习)已知为非零向量,则下列命题中正确的是(    )

A．若,则与方向相同

B．若,则与方向相反

C．若,则与有相等的模

D．若,则与方向相同

【答案】ABD

【解析】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.

当同向时有,.

当反向时有,

故选：ABD

【题组三 向量的数乘运算】

1．(2020·全国高一课时练习)化简：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)原式；

(2)原式；

(3)原式．

2．(2020·全国高一课时练习)化简下列各式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)； (2) .

【解析】(1)原式．

(2)原式．

3．(2020·全国高一课时练习)作图验证：

(1)        

(2)

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】如图，在平行四边形ABCD中，设，则.

(1)因为，所以

(2)因为，所以

4．(2020·全国高一课时练习)已知点是平行四边形内一点，且＝ ，＝ ，＝ ，试用表示向量、、、及．

【答案】；=；＝ ；＝．

【解析】∵四边形为平行四边形．

∴＝＝；

＝－＝；

＝－＝ ；

＝－＝ ；

＝＋＝ ．

4．(2020·六安市城南中学)如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.

【答案】；；

【解析】，，，

．

．

，，

．

．

5．(2020·全国高一课时练习)向量如图所示，据图解答下列问题：

(1)用表示；

(2)用表示；

(3)用表示；

(4)用表示.

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【解析】由图知,

(1)；

(2)；

(3)；

(4)

【题组四 向量的共线定理】

1．(2021·全国)设是两个不共线的向量,若向量与共线,则(　　)

A．λ=0 B．λ=-1

C．λ=-2 D．λ=-

【答案】D

【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.

2．(2020·全国高一课时练习)设是不共线的两个非零向量，已知，，若三点共线，则的值为( )

A．1 B．2 C．-2 D．-1

【答案】D

【解析】因为，故存在实数，使得，又，

所以，故，故选D.

3．(2020·全国高一课时练习)判断下列各小题中的向量与是否共线：

(1)，；

(2)，．

【答案】(1)与共线；(2)与共线．

【解析】(1)，所以与共线；

(2)，所以与共线．

4．(2021·四川乐山市·高一期末)已知向量，不是共线向量，，，

(1)判断，是否共线；

(2)若，求的值

【答案】(1)与不共线.(2)

【解析】(1)若与共线，由题知为非零向量，

则有，即，

∴得到且，

∴不存在，即与不平行.

(2)∵，则，即，

即，解得.

5．(2020·全国高一课时练习)已知非零向量不共线，且，，，，能否判定A，B，D三点共线？请说明理由．

【答案】无法判定A，B，D三点共线，见解析

【解析】无法判定A，B，D三点共线，证明如下：

，

，

所以，

所以向量与共线．

由于向量共线包括对应的有向线段平行与共线两种情况，

所以无法判定A，B，D三点共线．

6．(2020·全国高一课时练习)设是两个不共线向量，已知，，．若，且B，D，F三点共线，求k的值．

【答案】

【解析】，

∵B，D，F三点共线，∴，即．

由题意知不共线，得，解得．

7．(2020·全国高一课时练习)已知是两个不共线的向量，若，，，求证：A，B，D三点共线．

【答案】见解析

【解析】∵，，∴．

又，∴，∴．

∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线．

8．(2020·全国高一课时练习)如图所示,在平行四边形中, ，,M为的中点,点N在上,且.证明:M,N,C三点共线.

【答案】证明见解析

【解析】∵,

∴.

连接,则,,

∴,

∴与共线.

又 与有公共点N,

∴M,N,C三点共线.

9．(2020·全国高一课时练习)如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段的一个靠近点B的三等分点,设.

(1)用向量与表示向量;

(2)若,求证:C,D,E三点共线.

【答案】(1),;(2)证明见解析.

【解析】(1)∵,,

∴,

.

(2)证明:

,

∴与平行,

又∵与有共同点C,

∴，，三点共线.

10．(2020·全国高一课时练习)如图所示，已知D，E分别为的边，的中点，延长至点M使，延长至点N使，求证：M，A，N三点共线．

【答案】见解析

【解析】连接，(图略)．

∵D为的中点，且D为的中点，∴四边形为平行四边形，∴，∴．同理可证，．

∴，∴，共线且有公共点A，∴M，A，N三点共线．