高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练

6.4.2 正余弦定理(精讲)

考法一  余弦定理

【例1】(1)(2020·全国高一课时练习)已知在中，，，，则c等于(    )

A． B． C． D．5

(2)(2020·江西南昌市)在锐角中，若，，，则(    )

A． B． C． D．

(3)(2020·全国高一课时练习)已知钝角三角形的三边长分别为，则的取值范围是(    )   

A．(-2,6) B．(0,2) C．(0,6) D．(2,6)

【答案】(1)A(2)D(3)D

【解析】(1)在中,,,,由余弦定理得,

所以.故选:A

(2)因为为锐角三角形,由同角三角函数关系式可得

又因为,由余弦定理可得 代入可得

所以 故选:D

(3)由题：钝角三角形的三边长分别为

解得：.故选：D

【举一反三】

1．(2020·全国高一)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，右a=1，c=2，∠B=600，则b=(    )

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【解析】因为，，，

则由余弦定理可得．故选：．

2．(2020·全国高一课时练习)在中,内角,,所对的边分别为,,,且,则此三角形中的最大角的大小为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】中设,

由余弦定理可得.

因为为三角形的内角,所以此三角形中的最大角,故选:B.

3．(2020·北京人大附中高一期末)在中，，，，则等于(    )

A． B．3 C． D．21

【答案】A

【解析】因为，，，所以，即，故选：A.

考法二  正弦定理

【例2】(1)(2020·辽宁锦州市·高一期末)在中，内角，，的对边分别为，，，，，，则角为(    )

A．60° B．60°或120° C．45° D．45°或135°

(2)(2020·湖北黄冈市·高一期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，b，c，已知，，，则(    )

A． B． C． D．

(3)(2020·全国高一课时练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a，则等于(　　)

A． B． C． D．2

【答案】(1)B(2)B(3)D

【解析】(1)由正弦定理得得得，

，，得或，故选：B．

(2)因为，所以为钝角，，为锐角．

由得，所以．故选：B．

(3)A＝60°，a，由正弦定理可得，2，

∴b＝2sinB，c＝2sinC，则2．故选：D．

【举一反三】

1．(2020·和县第二中学)在中，，则(    )

A． B．或 C． D．

【答案】B

【解析】由正弦定理可得，，

，或.故选：B.

2．(2020·吉林长春市实验中学)在中，若，，，则等于(    )

A． B．或 C． D．或

【答案】D

【解析】由题意，在中，由正弦定理可得，即，

又由，且，所以或，故选：D.

3．(2020·合肥市第十一中学高一期末)已知△ABC中，，则b等于(    )

A．2 B．1 C． D．

【答案】D

【解析】由正弦定理，得.故选：D．

4．(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)在中，角、、所对的边分别是、、，若，，，则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，．，

．．

由正弦定理可得：，．故选：．

5．(2020·湖南岳阳市)在中，若，则角的值为(    ).

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】B

【解析】因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，所以故选：B

考法三  正余弦定理综合运用

【例3-1】(射影定理)(2020·安徽和县)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】由余弦定理得bcosC+ccosB＝+＝＝a＝3，故选：C.

【例3-2】(2020·深圳市)在中，角，，的对边分别为，，，若，则(    )

A． B． C． D．或

【答案】B

【解析】因为，由正弦定理得，整理得，

由余弦定理得，又因为，所以，故选：B

【例3-3】(判断三角形形状)(2020·江苏省)在中，，，则一定是

A．锐角三角形 B．钝角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】D

【解析】中，，,

故得到，故得到角A等于角C，三角形为等边三角形.故答案为D.

【例3-4】(三角形个数判断)(2020·进贤县第一中学)若满足条件的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦定理可知 ，代入可求得

因为，所以 若满足有两个三角形ABC则 所以 所以选C

【举一反三】

1．(2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末)在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则等于(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为所以由正弦定理可得，因为，所以

因为角A为锐角，所以故选：A

2．(2020·四川成都市·双流中学高一开学考试)在中，若，则是(    )

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】A

【解析】将，利用正弦定理化简得：，

把代入得：，

整理得：，即或，

，为三角形内角，，，即，则为直角三角形，故选：A.

3．(2020·安徽宿州市·高一期末)设的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，且，那么外接圆的半径为(    )

A．2 B．4 C． D．8

【答案】A

【解析】∵，

∴，化为：.

∴，∵，∴，

∵，由正弦定理可得，

解得，即外接圆的半径为2.

故选：A.

4．(2020·浙江湖州市)在中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若，，则　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，

由余弦定理可得：，可得，，

，可得：，可得：，

，由，可得：，，．故选D．

5．(多选)(2020·广东高一期末)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，不解三角形，确定下列判断错误的是(    )

A．B＝60°，c＝4，b＝5，有两解       B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解

C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解       D．B＝60°，c＝4，b＝2，无解

【答案】ABC

【解析】对于，因为为锐角且，所以三角形有唯一解，故错误；

对于，因为为锐角且，所以三角形有两解，故错误；

对于，因为为锐角且 ，所以三角形无解，故错误；

对于，因为为锐角且，所以三角形无解，故正确.

故选：ABC.

6．(2020·四川省武胜烈面中学校高一期中)若满足，的有两个，则边长的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以 ,

因此

，选D.

考法四  三角形的面积公式

【例4】(1)(2020·全国高一)在△ABC中，其外接圆半径R＝2，A＝30°，B＝120°，则△ABC的面积_____.

（2）(2020·重庆高一开学考试)在中，，，，则的面积等于     

（3）(2020·广东深圳市·宝安第一外国语学校高一期中)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝ ，b＝1，△ABC的面积为 ，则a的值为     

【答案】(1)(2)(3)

【解析】(1)根据正弦定理可知，

所以，,，

所以是等腰三角形，且，.故答案为：

(2)由及正弦定理得．

在中，由余弦定理得，

所以，解得，所以．

又，所以．

(3)因为A＝ ，b＝1，，所以，所以，

由余弦定理得，所以

【举一反三】

1．(2020·湖南长沙市·高一期末)在中，分别为的对边，，这个三角形的面积为，则(   )

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】依题意，解得，

由余弦定理得.故选：D.

2．(2020·全国高一课时练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且a=4，b=6，则△ABC的面积为________.

【答案】

【解析】∵，由余弦定理可得

，

化简得，即，

∵，∴.

又∵a=4，b=6，代入，

得，解得或(舍去)，

∴.

故答案为:

3．(2020·宜宾市叙州区第二中学校高一月考)在中，已知，，的外接圆半径为1，则(    )

A． B． C． D．6

【答案】C

【解析】已知 A=，得sinA= ，

∵ b=1，R=1，根据正弦定理，得 ，sinB= ,

∵ ，易知B为锐角，∴B= ,∴C= 根据三角形的面积公式，S△ABC=.故选C.

4．(2020·全国高一专题练习)在中，，，其面积为，则等于( )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，，即，解得，

由余弦定理得，即，由于，故答案为C.