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人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课时训练
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课时训练，共23页。
10.1 随机事件与概率(精练)
【题组一 有限样本空间与随机事件】
1．(2020·全国高一课时练习)下列事件是必然事件的是( )
A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃时结冰
D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数
【答案】B
【解析】四个选项都是随机事件，根据定义只有B选项是一定会发生的，是必然事件.故选：B.
2．(2020·全国高一课时练习)下列事件中，是必然事件的是( )
A．对任意实数x，有x2≥0
B．某人练习射击，击中10环
C．从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D．某人购买彩票中奖
【答案】A
【解析】选项中的事件都不确定发生，因此都不是必然事件；
A选项，当时，总有发生，是必然事件.故选：A.
3．(2021·全国高一课时练习)关于样本点、样本空间，下列说法错误的是( )
A．样本点是构成样本空间的元素
B．样本点是构成随机事件的元素
C．随机事件是样本空间的子集
D．随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
【答案】D
【解析】由定义知A，B，C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错.故选：D
4．(2020·全国高一课时练习)一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
【答案】C
【解析】由题知所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).故选：C.
5．(2021·全国高一课时练习)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖万元；
(2)三角形的内角和为；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有、、、的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
【答案】(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)不可能事件.
【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；
(2)所有三角形的内角和均为，所以是必然事件；
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；
(5)任意抽取，可能得到、、、号标签中的任一张，所以是随机事件；
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
6．(2020·全国高一课时练习)在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况.
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：A=“至少有两科成绩为优秀”；B=“三科成绩不都相同”
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】解：分别用表示语文，数学，英语的成绩，则样本点表示为.用1表示优秀，用0表示良好，则.
(1)该试验的样本空间可表示为，用列举法表示为
.
(2)；
.
7．(2020·全国高一课时练习)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。
(1)则样本空间
如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果
(2)“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，所以.
“电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，所以.
同理，“电路是断路”等价于，，或.所以.
8．(2020·全国高一课时练习)如图，由A，B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，观察两个元件正常或失效的情况.
(1)写出试验的样本空间；
(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析
【解析】 A，B两个元件中每个元件都有正常(用1表示)或失效(用0表示)两种可能结果：(1)故该试验的样本空间可以表示为；
(2)对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包含的样本点为；
(3)对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为.
9．(2020·全国高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(与先后顺序有关)
(1)写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
(2)写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
【答案】(1)8个，见解析(2){(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.
【解析】(1)这个试验的样本空间{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，样本点的个数是8.
(2)记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.
10．(2020·全国高一课时练习)从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字.
(1)写出样本空间；
(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)用有序数对表示事件，所以．
(2)根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为：．
11．(2021·全国高一课时练习)从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)下列随机事件由哪些样本点构成：事件A：取出的两件产品都是正品；事件B：取出的两件产品恰有1件次品.
【答案】(1)(2)；
【解析】1)该试验的样本空间
(2)事件，包含2个样本点.
事件，包含4个样本点.
【题组二 事件的关系和运算】
1．(2020·全国高一课时练习)在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”.
(1)试用样本点表示事件，，，；
(2)试用样本点表示事件，，，；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥
【解析】用H代表“出现正面”,用T代表“出现反面”.
,
,,
.
(1),,
,
.
(2),,
,.
(3),,
,∴A与B不互斥,A与C不互斥,B与C不互斥.
2．(2020·全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；
(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)
【答案】(1)正确；(2)错误；(3)正确；(4)正确；(5)正确；(6)正确；(7)正确；(8)正确；(9)正确；(10)正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
(1),,满足,所以与互斥,故正确；
(2),,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,(3)正确；(4)正确；(5)正确；
(6),所以,故正确；(7),故正确；
(8)因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
(9)正确；(10)正确.
3．(2020·全国高一课时练习)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
【答案】(1)详见解析(2)事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件(3)事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.
【解析】(1)所有的试验结果如图所示,
用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间
事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是
；
事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是
.
同理,有
,
,
,
.
(2)因为,所以事件包含事件R；
因为,所以事件R与事件G互斥；
因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为,所以事件R是事件与事件的交事件.
4．(2020·全国高一课时练习)抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，
，.
故选B.
5．(2020·全国高一课时练习)打靶3次，事件“击中发”，其中.那么表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．全部未击中
【答案】B
【解析】表示的是这三个事件中至少有一个发生,
即可能击中1发、2发或3发.故选：B.
6．(2020·全国高一课时练习)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【题组三 互斥与对立】
1．(2020·全国高一课时练习)袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故选：D
2．(2020·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．两次都不中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．至多有一次中靶
【答案】A
【解析】对A,“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生,故A正确.
对B,“至少有一次中靶”包含“两次都中靶”的情况.故B错误.
对C, “至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情况.故C错误.
对D, “至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含“一次中靶”的情况.故D错误.
故选：A
3(2021·全国高一课时练习)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
【答案】D
【解析】事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
因为出现点数或，
所以与不互斥也不对立.
因为，，
所以与是对立事件.
故选：D
4．(2020·全国高一课时练习)一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用表示第一次摸得黄球,表示第二次摸得白球,则事件与( )
A．是相互独立事件 B．不是相互独立事件 C．是互斥事件 D．是对立事件
【答案】A
【解析】由于采用有放回地摸球,因此与相互独立,于是事件与是相互独立事件.故选：A
5．(2021·全国高一课时练习)从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是( )
A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球”
C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”
【答案】B
【解析】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，
各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；
“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；
“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.
故选：B
6．(2020·全国高一课时练习)如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( ).
A． 是必然事件 B．是必然事件
C．与一定互斥 D．与一定不互斥
【答案】B
【解析】用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件.
故选：B.
7．(2020·全国高一课时练习)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
【答案】B
【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．
8．(2021·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】A
【解析】一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．
9．(2020·全国高一课时练习)从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少2个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球
C．至少2个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球
【答案】A
【解析】选项A中，“至少2个白球”包括“2个白球”和“2个白球和个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”．故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A正确．
选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球2个红球”、“2个白球和1个红球”、“3个白球”三种情况；“至少1个红球”包括“1个红球2个白球”、“2个红球和1个白球”、“3个红球”三种情况．所以这两个事件不互斥，所以B不正确．
选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球1个红球”、“3个白球”两种情况；“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”、“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不正确．
选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不正确．
故选A．
10．(2020·全国高一课时练习)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
【答案】D
【解析】对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．
【题组四 古典概型】
1．(2020·全国高一课时练习)某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，
乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果
如果按(甲，乙)方法得出总共的结果为：36个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是，
故选：A．
2．(2020·全国高一课时练习)在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中，任取三条，这三条线段能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从四条线段中任意取三条，共有：，，，
，四种情况，三条线段能构成三角形共有：一种情况，故能构成三角形的概率为.故选：C
3．(2021·全国高一课时练习)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．
【答案】(1)；(2)40，28.75；(3).
【解析】(1)组距，由，得．
(2)各组中点值和相应的频率依次为：
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
所以，
．
(3)由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，分别记为和从中任取2个的取法有：
，
，
，
共21种取法，其中都是优质果实的取法有，共3种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率．
4．(2020·全国高一课时练习)某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间
频数
[0，10)
2
[10，20)
3
[20，30)
5
[30，40)
15
[40，50)
40
[50，60]
35
(1)在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；
(2)从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
(3)求学生对A餐厅评分的平均数.
【答案】(1)20；(2)；(3)41.9.
【解析】(1)由餐厅分数的频率分布直方图，得
对餐厅评分低于的频率为，
所以，对餐厅评分低于的人数为.
(2)对餐厅评分在范围内的有人，设为，
对餐厅评分在范围内的有人，设为
从这人中随机选出人的选法为：
，，，，，，，，，共种
其中，恰有人评分在范围内的选法为：，，，，，.共6种.
故人中恰有人评分在范围内的概率为.
(3)平均数为：
.
5．(2020·全国高一课时练习)由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40]的有20人.
(1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；
(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；
(3)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率
【答案】(1)50；(2)5；(3).
【解析】(1)由频率直方图可知，
因，所以所求中位数在,
不妨设中位数为x，则,得.
所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；
(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在有20人，
设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则，即，
用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为,
即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5；
(3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，
所以其中男性为3人，女性为2人，
将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a,b，
从中任选两人的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共10种，
其中至少有一名男性的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，共9种.
所以至少选到一名男性的概率.
6．(2020·全国高一课时练习)海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量/件
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】(1)1，3，2；(2).
【解析】(1)由题意，样品中来自A地区商品的数量为，
来自B地区商品的数量为，
来自C地区商品的数量为；
(2)设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，
来自地区的样品编号为,，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
,,,,,,,,
,,,,,,,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
,,,,共4个；
故所求概率.
【题组五 概率的基本性质】
1．(2020·吴起高级中学)气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是( )
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
2．(2021·全国高一课时练习)某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖
B．买10000张彩票只能中奖1次
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【解析】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
3．(2020·全国高一课时练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P(A∪B)＝P(A)+P(B)，
故选：A．
4(2020·全国高一课时练习)柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么
(1)写出试验的样本空间;
(2)求下列事件的概率，并说明它们的关系;
①A=“取出的鞋不成双”
②B=“取出的鞋都是左脚的”；
③C=“取出的鞋都是一只脚的”；
④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.
【答案】(1)见解析；(2)①；②；③；④.，B与D互斥，C与D互斥，.
【解析】1)该试验的样本空间可表示为
(2)由(1)得.
①.
.
②，.
③
.
④，
A，B，C，D之间有如下关系：
，B与D互斥，C与D互斥，.
5．(2020·全国高一课时练习)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
所用的时间/h
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
(1)为进行某项研究，从所用时间为12h的60辆汽车中随机抽取6辆.
(ⅰ)若用分层随机抽样的方法抽取，求从通公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；
(ⅱ)若从(ⅰ)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率.
(2)假设汽车只能在约定时间的前11h出发，汽车只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车和汽车应如何选择各自的道路？
【答案】(1)(i)通过公路1的汽车中抽取(辆)，从通过公路2的汽车中抽取(辆).(ii)(2)汽车应选择公路1；汽车应选择公路2
【解析】
(1)(ⅰ)由分层随机抽样的特点，易得从通过公路1的汽车中抽取(辆)，从通过公路2的汽车中抽取(辆).
(ⅱ)记通过公路1的2辆汽车分别为，通过公路2的4辆汽车分别为，从6辆汽车中任意抽取2辆汽车共有15种可能的情况：
.
其中至少有1辆通过公路1的情况有9种，所以至少有1辆通过公路1的概率为.
(2)作出频率分布表，如下：
所用的时间/h
10
11
12
13
通过公路1的频率
0.2
0.4
0.2
0.2
通过公路2的频率
0.1
0.4
0.4
0.1
设分别表示事件汽车在约定时间的前11h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙；
分别表示事件汽车在约定时间的前12h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙.
则，，所以汽车应选择公路1.
，，所以汽车应选择公路2.
6．(2020·全国高一课时练习)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【解析】(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
7．(2020·全国高一课时练习)深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
【答案】不公平的.
【解析】设城市的出租车有1000辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，
它确定是红色的概率为，
而它是蓝色的概率为，
在实际数据面前，
作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的．
8．(2020·全国高一课时练习)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平.
9．(2020·全国高一课时练习)下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1个红球和1个白球
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
取1个球
依次取出2个球
依次取出2个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的
【解析】游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
10.1 随机事件与概率(精练)
【题组一 有限样本空间与随机事件】
1．(2020·全国高一课时练习)下列事件是必然事件的是( )
A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃时结冰
D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数
【答案】B
【解析】四个选项都是随机事件，根据定义只有B选项是一定会发生的，是必然事件.故选：B.
2．(2020·全国高一课时练习)下列事件中，是必然事件的是( )
A．对任意实数x，有x2≥0
B．某人练习射击，击中10环
C．从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球
D．某人购买彩票中奖
【答案】A
【解析】选项中的事件都不确定发生，因此都不是必然事件；
A选项，当时，总有发生，是必然事件.故选：A.
3．(2021·全国高一课时练习)关于样本点、样本空间，下列说法错误的是( )
A．样本点是构成样本空间的元素
B．样本点是构成随机事件的元素
C．随机事件是样本空间的子集
D．随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
【答案】D
【解析】由定义知A，B，C均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D错.故选：D
4．(2020·全国高一课时练习)一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有( )
A．(男，女)，(男，男)，(女，女)
B．(男，女)，(女，男)
C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)
D．(男，男)，(女，女)
【答案】C
【解析】由题知所有的样本点是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).故选：C.
5．(2021·全国高一课时练习)指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：
(1)某人购买福利彩票一注，中奖万元；
(2)三角形的内角和为；
(3)没有空气和水，人类可以生存下去；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；
(5)从分别标有、、、的四张标签中任取一张，抽到1号标签；
(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．
【答案】(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件；(5)随机事件；(6)不可能事件.
【解析】(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件；
(2)所有三角形的内角和均为，所以是必然事件；
(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件；
(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件；
(5)任意抽取，可能得到、、、号标签中的任一张，所以是随机事件；
(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．
6．(2020·全国高一课时练习)在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况.
(1)写出该试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：A=“至少有两科成绩为优秀”；B=“三科成绩不都相同”
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】解：分别用表示语文，数学，英语的成绩，则样本点表示为.用1表示优秀，用0表示良好，则.
(1)该试验的样本空间可表示为，用列举法表示为
.
(2)；
.
7．(2020·全国高一课时练习)如图，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
(1)写出试验的样本空间；
(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】分别用和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。
(1)则样本空间
如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果
(2)“恰好两个元件正常”等价于，且中恰有两个为1，所以.
“电路是通路”等价于，，且中至少有一个是1，所以.
同理，“电路是断路”等价于，，或.所以.
8．(2020·全国高一课时练习)如图，由A，B两个元件分别组成串联电路(图(1))和并联电路(图(2))，观察两个元件正常或失效的情况.
(1)写出试验的样本空间；
(2)对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点；
(3)对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)详见解析
【解析】 A，B两个元件中每个元件都有正常(用1表示)或失效(用0表示)两种可能结果：(1)故该试验的样本空间可以表示为；
(2)对串联电路，只有当A，B都正常时电路才是通路，故M包含的样本点为；
(3)对并联电路，只有当A，B都失效时电路才是断路，故N包含的样本点为.
9．(2020·全国高一课时练习)连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.(与先后顺序有关)
(1)写出这个试验的样本空间及样本点的个数；
(2)写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.
【答案】(1)8个，见解析(2){(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.
【解析】(1)这个试验的样本空间{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，样本点的个数是8.
(2)记事件“恰有两枚正面向上”为事件A，则{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.
10．(2020·全国高一课时练习)从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字.
(1)写出样本空间；
(2)写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)用有序数对表示事件，所以．
(2)根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为：．
11．(2021·全国高一课时练习)从含有两件正品和一件次品的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)下列随机事件由哪些样本点构成：事件A：取出的两件产品都是正品；事件B：取出的两件产品恰有1件次品.
【答案】(1)(2)；
【解析】1)该试验的样本空间
(2)事件，包含2个样本点.
事件，包含4个样本点.
【题组二 事件的关系和运算】
1．(2020·全国高一课时练习)在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”.
(1)试用样本点表示事件，，，；
(2)试用样本点表示事件，，，；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥
【解析】用H代表“出现正面”,用T代表“出现反面”.
,
,,
.
(1),,
,
.
(2),,
,.
(3),,
,∴A与B不互斥,A与C不互斥,B与C不互斥.
2．(2020·全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：=“点数为i”，其中；=“点数不大于2”，=“点数大于2”，=“点数大于4”；E=“点数为奇数”，F=“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.
(1)与互斥；(2)，为对立事件；(3)；(4)；(5)，；
(6)；(7)；(8)E，F为对立事件；(9)；(10)
【答案】(1)正确；(2)错误；(3)正确；(4)正确；(5)正确；(6)正确；(7)正确；(8)正确；(9)正确；(10)正确.
【解析】该试验的样本空间可表示为,
由题意知,,,,,.
(1),,满足,所以与互斥,故正确；
(2),,满足但不满足.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；
根据对应的集合易得,(3)正确；(4)正确；(5)正确；
(6),所以,故正确；(7),故正确；
(8)因为, ,所以E,F为对立事件,故正确；
(9)正确；(10)正确.
3．(2020·全国高一课时练习)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？
(3)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？
【答案】(1)详见解析(2)事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件(3)事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.
【解析】(1)所有的试验结果如图所示,
用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间
事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是
；
事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是
.
同理,有
,
,
,
.
(2)因为,所以事件包含事件R；
因为,所以事件R与事件G互斥；
因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.
(3)因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为,所以事件R是事件与事件的交事件.
4．(2020·全国高一课时练习)抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：，，
，.
故选B.
5．(2020·全国高一课时练习)打靶3次，事件“击中发”，其中.那么表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发 C．至少击中2发 D．全部未击中
【答案】B
【解析】表示的是这三个事件中至少有一个发生,
即可能击中1发、2发或3发.故选：B.
6．(2020·全国高一课时练习)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品.
并给出以下结论：
①；②是必然事件；③；④.
其中正确结论的序号是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
【答案】A
【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；
事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；
事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.
故选：A
【题组三 互斥与对立】
1．(2020·全国高一课时练习)袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故选：D
2．(2020·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )
A．两次都不中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．至多有一次中靶
【答案】A
【解析】对A,“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生,故A正确.
对B,“至少有一次中靶”包含“两次都中靶”的情况.故B错误.
对C, “至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情况.故C错误.
对D, “至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含“一次中靶”的情况.故D错误.
故选：A
3(2021·全国高一课时练习)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过3，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
【答案】D
【解析】事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
事件包含，，，共个基本事件.
因为出现点数或，
所以与不互斥也不对立.
因为，，
所以与是对立事件.
故选：D
4．(2020·全国高一课时练习)一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用表示第一次摸得黄球,表示第二次摸得白球,则事件与( )
A．是相互独立事件 B．不是相互独立事件 C．是互斥事件 D．是对立事件
【答案】A
【解析】由于采用有放回地摸球,因此与相互独立,于是事件与是相互独立事件.故选：A
5．(2021·全国高一课时练习)从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是( )
A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球”
C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”
【答案】B
【解析】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，
各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；
“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；
“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.
故选：B
6．(2020·全国高一课时练习)如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( ).
A． 是必然事件 B．是必然事件
C．与一定互斥 D．与一定不互斥
【答案】B
【解析】用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，是必然事件.
故选：B.
7．(2020·全国高一课时练习)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是
A．对立事件 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
【答案】B
【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，
因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．
8．(2021·全国高一课时练习)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
A．两次都中靶 B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶 D．只有一次中靶
【答案】A
【解析】一个人打靶时连续射击两次，
事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．
9．(2020·全国高一课时练习)从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少2个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球
C．至少2个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球
【答案】A
【解析】选项A中，“至少2个白球”包括“2个白球”和“2个白球和个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”．故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A正确．
选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球2个红球”、“2个白球和1个红球”、“3个白球”三种情况；“至少1个红球”包括“1个红球2个白球”、“2个红球和1个白球”、“3个红球”三种情况．所以这两个事件不互斥，所以B不正确．
选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球1个红球”、“3个白球”两种情况；“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”、“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不正确．
选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不正确．
故选A．
10．(2020·全国高一课时练习)将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
【答案】D
【解析】对于A、B中，当向上的一面出现点数时，事件同时发生了，所以事件与不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件与不能同时发生且一定有一个发生，所以事件与是对立事件，故选D．
【题组四 古典概型】
1．(2020·全国高一课时练习)某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，
乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果
如果按(甲，乙)方法得出总共的结果为：36个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是，
故选：A．
2．(2020·全国高一课时练习)在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中，任取三条，这三条线段能构成三角形的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】从四条线段中任意取三条，共有：，，，
，四种情况，三条线段能构成三角形共有：一种情况，故能构成三角形的概率为.故选：C
3．(2021·全国高一课时练习)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照分为5组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．
【答案】(1)；(2)40，28.75；(3).
【解析】(1)组距，由，得．
(2)各组中点值和相应的频率依次为：
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
所以，
．
(3)由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个，分别记为和从中任取2个的取法有：
，
，
，
共21种取法，其中都是优质果实的取法有，共3种取法，
所以抽到的都是优质果实的概率．
4．(2020·全国高一课时练习)某大学为调研学生在，两家餐厅用餐的满意度，在，两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：，，，，，，得到餐厅分数的频率分布直方图，和餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间
频数
[0，10)
2
[10，20)
3
[20，30)
5
[30，40)
15
[40，50)
40
[50，60]
35
(1)在抽样的100人中，求对餐厅评分低于30的人数；
(2)从对餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
(3)求学生对A餐厅评分的平均数.
【答案】(1)20；(2)；(3)41.9.
【解析】(1)由餐厅分数的频率分布直方图，得
对餐厅评分低于的频率为，
所以，对餐厅评分低于的人数为.
(2)对餐厅评分在范围内的有人，设为，
对餐厅评分在范围内的有人，设为
从这人中随机选出人的选法为：
，，，，，，，，，共种
其中，恰有人评分在范围内的选法为：，，，，，.共6种.
故人中恰有人评分在范围内的概率为.
(3)平均数为：
.
5．(2020·全国高一课时练习)由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40]的有20人.
(1)估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；
(2)用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；
(3)若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率
【答案】(1)50；(2)5；(3).
【解析】(1)由频率直方图可知，
因，所以所求中位数在,
不妨设中位数为x，则,得.
所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；
(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在有20人，
设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则，即，
用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为,
即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5；
(3)由(2)可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，
所以其中男性为3人，女性为2人，
将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a,b，
从中任选两人的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共10种，
其中至少有一名男性的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，共9种.
所以至少选到一名男性的概率.
6．(2020·全国高一课时练习)海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
地区
A
B
C
数量/件
50
150
100
(1)求这6件样品中来自A，B，C三个地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
【答案】(1)1，3，2；(2).
【解析】(1)由题意，样品中来自A地区商品的数量为，
来自B地区商品的数量为，
来自C地区商品的数量为；
(2)设来自地区的样品编号为，来自地区的样品编号为,,，
来自地区的样品编号为,，
则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:
,,,,,,,,
,,,,,,,共15个；
抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:
,,,,共4个；
故所求概率.
【题组五 概率的基本性质】
1．(2020·吴起高级中学)气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是( )
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨
【答案】C
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.
2．(2021·全国高一课时练习)某种彩票中奖的概率为，这是指
A．买10000张彩票一定能中奖
B．买10000张彩票只能中奖1次
C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖
D．买一张彩票中奖的可能性是
【答案】D
【解析】彩票中奖的概率为，只是指中奖的可能性为，
不是买10000张彩票一定能中奖，
概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.
3．(2020·全国高一课时练习)抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，
∴P(A)，P(B)，
又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，
所以事件A和事件B为互斥事件，
则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为
P(A∪B)＝P(A)+P(B)，
故选：A．
4(2020·全国高一课时练习)柜子里有3双不同的鞋，分别用表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么
(1)写出试验的样本空间;
(2)求下列事件的概率，并说明它们的关系;
①A=“取出的鞋不成双”
②B=“取出的鞋都是左脚的”；
③C=“取出的鞋都是一只脚的”；
④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”.
【答案】(1)见解析；(2)①；②；③；④.，B与D互斥，C与D互斥，.
【解析】1)该试验的样本空间可表示为
(2)由(1)得.
①.
.
②，.
③
.
④，
A，B，C，D之间有如下关系：
，B与D互斥，C与D互斥，.
5．(2020·全国高一课时练习)有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：
所用的时间/h
10
11
12
13
通过公路1的频数
20
40
20
20
通过公路2的频数
10
40
40
10
(1)为进行某项研究，从所用时间为12h的60辆汽车中随机抽取6辆.
(ⅰ)若用分层随机抽样的方法抽取，求从通公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；
(ⅱ)若从(ⅰ)的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率.
(2)假设汽车只能在约定时间的前11h出发，汽车只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车和汽车应如何选择各自的道路？
【答案】(1)(i)通过公路1的汽车中抽取(辆)，从通过公路2的汽车中抽取(辆).(ii)(2)汽车应选择公路1；汽车应选择公路2
【解析】
(1)(ⅰ)由分层随机抽样的特点，易得从通过公路1的汽车中抽取(辆)，从通过公路2的汽车中抽取(辆).
(ⅱ)记通过公路1的2辆汽车分别为，通过公路2的4辆汽车分别为，从6辆汽车中任意抽取2辆汽车共有15种可能的情况：
.
其中至少有1辆通过公路1的情况有9种，所以至少有1辆通过公路1的概率为.
(2)作出频率分布表，如下：
所用的时间/h
10
11
12
13
通过公路1的频率
0.2
0.4
0.2
0.2
通过公路2的频率
0.1
0.4
0.4
0.1
设分别表示事件汽车在约定时间的前11h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙；
分别表示事件汽车在约定时间的前12h出发选择公路1，2将货物按时从城市甲运到城市乙.
则，，所以汽车应选择公路1.
，，所以汽车应选择公路2.
6．(2020·全国高一课时练习)从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示：
红灯个数
0
1
2
3
4
5
6个及6个以上
概率
0.02
0.1
0.35
0.2
0.1
0.03
(1)求表中字母的值；
(2)求至少遇到4个红灯的概率；
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【答案】(1)0.2；(2)0.33；(3)0.97.
【解析】(1)由题意可得，解得.
(2)设事件为遇到红灯的个数为4，事件为遇到红灯的个数为5，事件为遇到红灯的个数为6个及以上，则事件“至少遇到4个红灯”为，因为事件互斥，所以
，即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件为遇到6个及6个以上红灯，则至多遇到5个红灯为事件.
则.
7．(2020·全国高一课时练习)深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市有两家出租车公司——红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说，事故现场的出租车是红色的，并对证人的辨别能力进行了测试，测得他辨认的正确率为80%，于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平吗？试说明理由.
【答案】不公平的.
【解析】设城市的出租车有1000辆，那么依题意可得如下信息：
从表中可以看出，当证人说出租车是红色的，
它确定是红色的概率为，
而它是蓝色的概率为，
在实际数据面前，
作为警察以证人的证词作为推断的依据，对红色出租车来说显然是不公平的．
8．(2020·全国高一课时练习)一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平.
【答案】见解析.
【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，，
其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.
游戏所有的结果可以用如图表示.
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平.
9．(2020·全国高一课时练习)下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放同地取球，分别计算三个游戏中甲获胜的概率，你认为哪个游戏是公平的？
游戏1
游戏2
游戏3
袋子中球的数量和颜色
1个红球和1个白球
2个红球和2个白球
3个红球和1个白球
取球规则
取1个球
依次取出2个球
依次取出2个球
获胜规则
取到红球→甲胜
两个球同色→甲胜
两个球同色→甲胜
取到白球→乙胜
两个球不同色→乙胜
两个球不同色→乙胜
【答案】；；；游戏1和游戏3是公平的
【解析】游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的视率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的.
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