高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用巩固练习

6.4.3 正余弦定理的实际运用(精练)

【题组一 正余弦定理的综合运用】

1．(2020·浙江杭州市·高一期末)已知的内角，，的对边分别是，，，且．

(1)求的大小；

(2)若的面积等于，，求的值．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)∵，由余弦定理得，

∵，∴．

(2)因为，

所以，又，故，

于是，

∴，，

所以．

2．(2020·霍邱县第一中学高一期末)在中，分别为内角所对的边长，，.

(1)求角的大小；

(2)求的面积.

【答案】(1) ；(2)

【解析】(1)由内角和定理得，

因为，故，

因为，所以.

所以根据正弦定理得：，

因为，，所以，

所以.

(2)由(1)得，，

所以

.

3．(2020·三门峡市外国语高级中学高一期中)已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.

(1)求角的大小；

(2)若边长，求的周长最大值.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)，根据正弦定理得，，

即，由余弦定理得.

又，所以；

(2)，，，由正弦定理得，

可得：，，

，

由可得，可得.

.

因此，的周长的最大值为.

4(2020·四川高一月考(文))已知的内角的对边分别为，且满足.

(1)求角的大小；

(2)当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.

【答案】(1)；(2)有最大值，此时为等腰三角形.

【解析】(1)由正弦定理及已知得到，

又，

所以，

从而，

所以，

又在中，，所以.

又，所以.

(2)由(1)及正弦定理知道，

所以，.

所以

.

因为，所以.

从而

.

因为，所以当时，有最大值，

此时，为等腰三角形.

5．(2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中)已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.

(1)求角B；

(2)求周长的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】

(1)∵，

由正弦定理，得，

∴，

即，又，

∴，

又得.

(2)在中，，由正弦定理

，

，.

6．(2020·安徽和县·高一期末(理))在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)由，得，由余弦定理得．

又为的内角，所以.

(2)由正弦定理得，即有，.

所以

因为，所以，所以，

所以即.

故的取值范围为．

7．(2020·浙江高一期末)在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.

(1)求角A的大小；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)∵，结合余弦定理，可得：

，∴，∴

又∵，∴

(2)因为，，所以，所以，

所以

∵是锐角三角形，所以，解得

∴,

∴

∴,

∴

综上，的取值范围是

8．(2020·浙江高一期末)在中，角，，的对边分别为，，，.

(Ⅰ)求角的大小；

(Ⅱ)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).

【解析】(Ⅰ)因为，

由正弦定理可得，即为.

由余弦定理可得，

因为，

所以.

(Ⅱ)在中由正弦定理得，又，

所以，，

所以，

 ，

，

因为为锐角三角形，

所以，且，

所以且，

所以且，

所以，

所以，

所以周长的取值范围是.

9．(2020·四川省成都市盐道街中学高一期中)已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．

(1)求．

(2)若，，求的面积．

【答案】(1)；(2)．

【解析】(1)，

由正弦定理可得：

，

，

，

，

，

，，

．

(2)由，，

由余弦定理得，

，

即有，

，

故的面积为

．

10．(2021·湖南益阳市·高二期末)在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题(2)中，并完成问题的解答．

问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)若________，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】(1)，由正弦定理可得，

又，，

又由已知，，

由．

(2)①若选择，由余弦定理得：，

，，

．

②若选择，由余弦定理得：

，

整理得：，

解得：，或(舍去)，

．

③若选择，则，

由正弦定理得：，．

．

【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】

1．(2020·浙江)已知函数.

(1)求函数的最小正周期和最小值；

(2)中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.

【答案】(1)最小正周期为；最小值为.(2)，

【解析】(1).

所以的最小正周期，的最小值为.

(2)因为，所以，

又，，

所以，

得，

因为，

由正弦定理得，

由余弦定里得，

又，

所以，.

2．(2020·河南新乡市)已知函数．

(1)求函数在上的最大值和最小值；

(2)在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．

【答案】(1)最大值为，最小值为；(2)．

【解析】(1)

(3分)

， ， ，

所以的最大值为，最小值为．

(2)因为，即

， ， ，

又在中，由余弦定理得，

，所以，

由正弦定理得，即，所以．

3．(2021·柳州市第二中学高二期末(理))已知函数，.

(1)求函数的最小值和最小正周期；

(2)已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.

【答案】(1)函数的最小值为，最小正周期为；(2)，.

【解析】(1)由于函数，

故函数的最小值为，最小正周期为.

(2)中，由于，又，所以，∴.

又向量与共线，所以.

由正弦定理得，且.

故有，化简可得，又，∴，∴.

又，可得，

解得，.

4．(2020·江西南昌市·高一月考)已知，函数.

(Ⅰ)求函数零点；

(Ⅱ)若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【解析】(Ⅰ)由条件可知，

所以函数零点满足,

由，解得．

(Ⅱ)由正弦定理得，

由(Ⅰ)，

而，得，

又，得，代入上式化简得：

又在锐角中，有

，

则有，即：.

5．(2021·江西新余市·高三期末(文))已知函数中，角的对边分别为，且．

(1)求的单调递减区间；

(2)若，求三角形中的值．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)依题

又故的单调递减区间为

(2)由题意知，又，故，

依题意，

在三角形中，由余弦定理

故.

6．(2020·全国)已知函数.

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.

【答案】(1)，；(2)①，；②.

【解析】解：(1)，

最小正周期．

因为，

所以，

所以所求函数的单调递减区间为．

(2)因为，又，所以，

所以，①

又因为，由正弦定理可得，，②

由①②可得，．

由正弦定理可得，所以，又所以

所以

7．(2020·山东)已知函数

(1)求函数的单调递增区间

(2)若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围

【答案】(1)；(2)

【解析】(1

由

解得：，

故函数的单调递增区间为．

(2)，，

又，，，又，

在中，由正弦定理得：，得

又为锐角三角形，且，故，解得

，即

面积S的取值范围是：

【题组三 正余弦定理在几何中的运用】

1．(2020·湖北武汉市·高一期末)如图，在中，点在边上，，，．

(Ⅰ)求边的长；

(Ⅱ)若的面积是，求的值．

【答案】(1)2(2)

【解析】(Ⅰ)在中，设，则由余弦定理得：

即：，解之得：

即边的长为2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得为等边三角形，作于，则，

∴，故 ，，

∴在中，由余弦定理得：

∴在中由正弦定理得：

  ，∴，∴

2．(2020·江西)如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝，求AB的长．

【答案】(1) ；(2)4.

【解析】(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝，所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.

因为D∈(0，π)，所以sin D＝＝.

因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝.

(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2.

因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.

3．(2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考)在中，D为上一点，，，，.

(1)求角B；

(2)求.

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)在中，由正弦定理得，即，

所以，又，所以；

(2)在中，，所以

因为，所以，

在中，由余弦定理得，所以.

4．(2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试)如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.

(1)求的大小；

(2)若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.

【答案】(1)；(2)

【解析】(1)因为，且，

所以，

在中，,所以,

所以，

所以 因为在中，，

所以 因为是的内角所以.

(2)在中，，

因为是等腰直角三角形，

所以，

，

所以平面四边形的面积

因为，所以

所以当时，，

此时平面四边形的面积有最大值

5．(2020·福建泉州市·高一期末)在平面四边形中，，.

(1)求；

(2)若，，求的面积.

【答案】(1)；(2)；

【解析】(1)由题，在中，根据正弦定理，，

因为，．所以，

，．

(2)由(1)可知，．

，

中，，，，

中，，

，

解得或(舍，

的面积．

【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】

1．(2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末)如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意有：底面，

在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，

，，，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

在三角形中，由余弦定理可得：

，

∴，

解得：.

故选：B.

2．(2020·眉山市彭山区第一中学高一期中)中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米(如图所示)，旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为(米/秒)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图，由题意，∴，

在中，，即，．

∴，

(米/秒)．

故选B．

3．(2020·邵东市第一中学高一月考)如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=(    )

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米

【答案】D

【解析】依题意，过点作于，于，

，米，米，

依题意，在中，，，

在中，，，

在中，米，

米，

故选：D．

4．(2020·雅安市教育科学研究所高一期末)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为(  )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

在中，由余弦定理可得 ，

所以．故选A．

【解题必备】当的长度不可直接测量时，求，之间的距离有以下三种类型．

(1)如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量，及角，由余弦定理可得 ．

(2)如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量，角，角，则，由正弦定理可得．

(3)如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量

在中由正弦定理求，在中由正弦定理求，在中由余弦定理求．

图1                             图2                               图3

5．(2020·成都市实验外国语学校(西区)高一期中)如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.

【答案】

【解析】由题意知：，，，

则在中，

利用余弦定理知：，

代入数据，得，

解得：，

则从到所用时间为，则，

即.

故答案为：.

6．(2020·和县第二中学高一期中(文))和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.

【答案】30

【解析】设塔高，在中，由已知可得，

在中，由已知，

在中，由余弦定理可得，

即，

解得(负值舍去)．

故答案为：30

7．(2020·广东云浮市·高一期末)在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．

【答案】

【解析】由题设可知，在中，，，所以，

由正弦定理得，即，解得．

故答案为：.

8．(2020·山东济宁市·高一期末)如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.

【答案】

【解析】在中，因为，，，

由余弦定理得，

整理得，

解得或(舍去)，

在中，因为，，

所以，

由正弦定理得： ，

所以.

故答案为：

9．(2020·山东临沂市·高一期末)如图，在四边形ABCD中，已知，，，，

19．(2020·苏州新草桥中学高一期中)如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

(1)轮船D与观测点B的距离；

(2)救援船到达D点所需要的时间．

【答案】(1)海里；(2)1小时.

【解析】(1)由题意可知：在中，，，则，

由正弦定理得：，

由，

代入上式得：，轮船D与观测点B的距离为海里.

(2)在中，，，，

由余弦定理得：

，

，，

即该救援船到达点所需的时间小时.