2021-2022学年四川省南充高级中学高二第二次月考数学（理）试题含答案

四川省南充高级中学2021-2022学年高二第二次月考

数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

    项是符合题目要求的.）

1．直线的倾斜角大小（    ）

   A.     B.     C.     D.

2．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一

   时期相比较的增长率. 2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计

   公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（    ）

A．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌

B．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高

C．2019年我国居民每月消费价格逐月递增

D．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降

3．若事件A与B互斥事件，，，则（    ）

　 A．    B．    C．    D．

4．若实数满足不等式组则的最小值是（    ）

　 A．－3       B．－2        C．－1            D．0

5．设是两条不同的直线，是两个不同的平面.有下列四个命题：

   ①若，则且；  ②若，则；

   ③若，则；       ④若，则.

   其中正确的命题有（    ）

   A．0个            B．1个            C．2个            D．3个

6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到

   外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．己知△ABC

   的顶点，，且，则△ABC的欧拉线方程为（    ）

   A．    B．    C．    D．

7．某学校鼓励学生参加社区服务，学生甲2019年每月参加社区服务的时长（单位：小时）分别

   为，，…，，其均值和方差分别为和，若2020年甲每月参加社区服务的时长

   增加1小时，则2020年甲参加社区服务时长的均值和方差分别为（    ）

   A．，         B．     C．，      D．

8．已知三棱柱，，，，，如果三棱柱

   的6个顶点都在球O的球面上. 则球的半径为（    ）

   A.     B.     C.     D.

9．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（    ）

   A．30        B．24     C．18    D．12

10．曲线与直线有两个不同交点，实数的取值范围是（    ）

   A．    B．   C．     D．

11．已知，，直线：，：，且，则

   的最小值为（    ）

   A．2   B．4  C.   D.

12．如图，棱长为1的正方体中，

   M为线段上的动点（含端点），有下列结论

   ①平面平面

   ②三棱锥体积最大值为

   ③当M为AB1中点时，直线与直线所成的角的余弦值为

   ④直线与所成的角不可能是

   其中正确的是（    ）

   A．①②④       B．②③       C．①②③        D． ①③④

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值

    范围是________.

14．若直线被圆所截得的弦长不小于1，则

    的取值范围是________.

15．甲、乙两位同学约定晚饭6点到7点之间在食堂见面，先到之

    人等后到之人十五分钟，则甲、乙两人能见面的概率为      ．

16．如图，两个同心圆O的半径分别为2和，AB为大圆O的

    一条直径，过点B作小圆O的切线交大圆于另一点C，切点

    为M，点P为劣弧上的任一点（不包括B、C两点），

    则的最大值是__________．

三、解答题 （17题10分，其余各题12分，共70分.）

17.（10分）某市2月份到8月份温度在逐渐上升，为此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况.

（1）根据表中的数据，求关于的线性回归方程.

（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为2.5元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨.预计该家庭8月份的用水量及水费.

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

          ，.

18．已知点点在圆上运动，点为线段MN的中点.

（1）求点的轨迹方程；

（2）求点P到直线的距离的最大值和最小值.

19．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，.

（1）求角B的值；

（2）若 ，△ABC的面积为，求BC边上的中线长.

20．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照，，…分成5组，制成如图所示频率分布直方图.

（1）求图中的值；

（2）求这组数据的平均数；

（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3∶2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女生的概率.

21．如图1，在中，，，分别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图2，连结，.

（1）求证：平面平面；

（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；

（3）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

22．已知圆心在轴上的圆C与直线切于点，

圆.

（1）求圆C的标准方程；

（2）已知，圆P与x轴相交于两点M、N（点M在点N的右侧），过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A、B两点.问：是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.

数学试卷（理）参考答案

BDDCB   DDCBD   DC

13，           14，               15，             16，

16.以为坐标原点，所在的直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，

则、，

由，且，

所以，所以，即

又平分，所以，则,

设，

则，，

所以，

所以

，，

所以的最大值是.

17.（1），，……………(2分)

.

∴，       ……………(5分)

.                 ……………(6分)

∴关于的线性回归方程为；……………(7分)

（2）当时，吨，……………(8分)

水费为元. ……………(9分)

∴预计该家庭8月份的用水量为9.2吨，水费为24.1元. ……………(10分)

18.（1）因为点是的中点，

，即        ……………(3分)

又，……………(5分)

即.

所以点的轨迹方程为.……………(6分)

（2）由（1）知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.

圆心到直线的距离.……………(9分)

根据圆的性质，可得点到直线的距离的最大值为，最小值为.……………(12分)

19.（1）由条件知 ，即 ，………(2分)

解得或（舍去）又，.……………(6分)

（2）由于. ①

又由正弦定理得，, 又， ②……………(9分)

由① ②知，，由余弦定理得，边上的中线

.……………(12分)

20.解：（1）由，解得；………(4分)

（2）这组数据的平均数为；……………(8分)

（3）满意度评分值在内有人，男生数与女生数的比为3：2，故男生3人，女生2人，记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，

从5人中抽取2人有：，，，，，，，，， ，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件：，，，，，，共6个，所以 .……………(12分)

21.法一（1）证明：，分别为，中点，//．

，．．，．

又 =， 平面．

又平面，平面 平面．      ..........（3分）

(2)  图二中            

取PB中点N,连结EN,DN      

   作

所以是直线与平面所成的角……………(5分)

即直线与平面所成的角的正弦值为……………(7分)

（3）如图，

延长AD至点F使得AF=2AD，连接CF,即二面角G-AF-P余弦值为,设存在点G，且，面PAF,CF面PAF，过点G作GH∕∕CF与PF交于点H,则GH面PAF，过点H作HQ∕∕交AF于点Q,则HQAF，连接GQ，则GQAF, 是二面角的平面角，

=GH==2,又，

,

2,

所以存在点G满足题意，且……………(12分)

法二（2）解：  ，，，，，两两互相垂直．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意有，，，，，．则，，，，，．设平面的一个法向量，则有，即，

令得，．所以．……………(5分)

设直线与平面所成角为，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为．……………(7分)         

（3）解：假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为．

设，，则，即 ．，，.易得平面的一个法向量为．

设平面的一个法向量，则有，即，

令，则．若二面角的余弦值为，

则有，即，

解得，，．又因为，所以．

故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且...............12分

 22.（1）设圆心C的坐标为，由点E在直线l上，知

则，……………(2分)

，则，故

所以，即半径.

故圆C的标准方程为.……………(5分)

（2）假设这样的a存在，在圆P中，令，得，

解得或，……………(6分)

又由知，所以.

由题可知直线的倾斜角不为0，设直线，，

由，得……………(8分)

∵点在圆C内部，∴有恒成立，.

因为，所以，即，…………(10分)

也即是，整理得，

从而，化简有，

因为对任意的都要成立，所以，……………(12分)