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2023-2024学年四川省南充市南充高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省南充市南充高级中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知是4与6的公倍数，，则（ ）
A．P⫋QB．
C．D．Q⫋P
【答案】C
【分析】根据题意得到.
【详解】因为4与6的最小公倍数为12，故，
故，ABD错误，C正确.
故选：C
2．已知，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质判断AC选项，由指数函数的性质判断B选项，由幂函数的性质判断D选项.
【详解】因为，所以，即A正确；
当时，，
当时，，则，
所以，故C正确；
对于B，因为是R上的递增函数，
所以，故B正确；
对于D，是R上的增函数，所以，故D错误；
故选：D.
3．存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（ ）
A．有的三角形的垂心在其内部.B．任意三角形的垂心在其内部.
C．有的三角形的垂心在其内部或边上.D．任意三角形的垂心在其内部或边上.
【答案】D
【分析】利用量词命题的否定即可得解.
【详解】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论，
所以存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部，
其否定为：任意三角形的垂心在其内部或边上.
故选：D.
4．已知是幂函数，满足，则（ ）
A．3B．27C．81D．243
【答案】B
【分析】设出，根据条件求出，故，求出答案.
【详解】设，则，即，解得，
故，所以.
故选：B
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，排除D，再判断出函数不是偶函数，选出正确答案.
【详解】的定义域为，排除D；
又，故，所以不是偶函数，排除BC；A正确.
故选：A
6．已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据求出，作差比较出.
【详解】因为，所以，
故，，
，故，
，故，
所以.
故选：B
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了（单位：）.停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶？（）.
A．12B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得.
【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，
则，即，
由于在定义域上单调递减，
所以，故C项正确.
故选：C.
8．已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用定义法得到时，函数单调递减，时，单调递增，从而得到.
【详解】任取，，
故.
当时，，，故，
故，，
故函数单调递减；
当时，，，故，
故，
函数单调递增；
又在区间上单调递增，所以.
故选：A
二、多选题
9．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案.
【详解】因为，又，
所以，
故，
又，
所以或，
故选：BD
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解.
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，由A选项得，D错误.
故选：AC
11．已知函数，且正实数满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．的最小值为0
C．D．的最小值为
【答案】ABCD
【分析】根据题意分四种情况讨论，结合对数函数和基本不等式相关知识判断答案即可.
【详解】①当，时，，则，故A正确；
②当，时，，
则，此时，
当且仅当时，即时等号成立，不符合；
③当，时，，，则，故C正确；
④当，时，，，
则，，
当时，有最小值为，故D正确，
此时成立，当时等号成立，故B正确.
故选：ABCD
12．已知函数，函数，其中，若函数恰有两个零点，则函数的零点可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AD
【分析】求出函数的表达式，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】当时，，；
当时，，.
，所以的大致图象为
当时，有零点0，4；
当时，由解得，所以有零点，2.
故选：AD.
三、填空题
13．设且，若函数的反函数的图像过点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】利用反函数的概念可得在函数的图像上，即求.
【详解】∵函数的反函数的图像过点，
∴在函数的图像上，
∴，即，
故答案为：.
14．函数的图象与平行线，，有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出的图象，不妨设，则由图可知，，从而可求出的取值范围.
【详解】的图象如图所示，
不妨设，因为的图象与平行线，，有且仅有三个交点，
所以由图可知，，
所以，即实数的取值范围是，
故答案为：
15．已知函数，任意给定一个非零常数t，均有，试写出一个满足条件的解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】可设，得为奇函数，再结合可得也为奇函数，从而可求解.
【详解】由题意知对于任意的非零常数都有，
设，，所以为奇函数，即
所以，由，即，、
得，所以应为一个奇函数，
故，且答案不唯一.
故答案为：.
16．已知是函数的零点，则 .
【答案】1
【分析】首先由可得，然后构造函数，由的单调性以及得，则的值可求.
【详解】令，，
由于，所以，即，
令，则，因为在上均大于0，且单调递增，
所以在上单调递增，所以，，所以.
故答案为：1.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，则是的什么条件？
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)既不充分也不必要条件
(2)
【分析】（1）求出集合A，根据充分必要条件可判断；
（2）根据并集运算的定义可列式计算得解.
【详解】（1）由题知，即，解得，
所以；
由知，，所以是既不充分也不必要条件.
（2）因为，，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
18．（1）已知，求的值；
（2）方程的两根分别为，求的值.
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）化对数式为指数式，进而求出；
（2）方法一：变形为，是方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，从而计算出答案；
方法二：解方程得到，，代入计算即可.
【详解】（1） 由知，，，
所以；
（2）方法一：，
，是方程的两根，
由根与系数的关系知，，，
；
方法二：，
解得，，
所以.
19．已知，，集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，且，再根据基本不等式求解最值即可；
（2）由题意，进而将题意转化为在有唯一解，再分情况讨论的值，根据零点存在定理求解即可.
【详解】（1），无解，所以，且，
故，
当且仅当时取等号，
又因为，且，所以的取值范围为.
（2）中含有无穷多个元素，所以，且，即.
函数在区间内恰有一个零点，即在有唯一解.
当时，，成立.
当时，，解得，由，解得，成立.
当时，，解得且.
特别地，当时，的零点为满足；
当时，的零点为满足；
综上所述，实数的取值范围为.
20．已知函数，满足.
(1)求a的值，证明：函数在区间单调递增；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）由可解得a的值，再由定义法可求在区间单调性；
（2）由知，的图象关于对称，将转化为或利用换元法令，，则，解出t的范围即可得解.
【详解】（1），，由，解得.
任取，，，则，，
，
由，，，知，，即，所以函数在区间单调递增.
（2）由知，的图象关于对称，由，知，
，所以的取值范围为.
另解：，，则，即，
解得，所以，即，即，所以的取值范围为.
21．假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元.
(1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式；
(2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？
【答案】(1)
(2)，，模型一与生活中的实际情况更接近
【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程组，求出，，不妨设，推出矛盾，故，得到，求出答案；
（2）得到方程组，求出，，，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实际情况更接近.
【详解】（1）由题意得，
第2，3月份水费均大于13元，故用水量和均大于最低限量，
于是有，解得，
从而，
再考虑1月份用水量是否超过最低限量，
不妨设，将代入中，得，
故，与矛盾，舍去，
故，即，解得，
故，
所以每月支付费用（元）关于月用水量的函数解析式.
（2），
由题意知，，即
由得，由得，
所以，解得，所以，
代入，解得，又，所以，
所以，.
模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）.
建议从以下三方面考虑：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近，
百姓缴费少；
原因二：指数爆炸，由知，关于x是快速增长，
但模型一在上匀速增长，更符合实际意义；
原因三：当时，，
由于，，，
所以，故，不符合实际意义.
22．若是奇函数.
(1)求，的值；
(2)记函数，求函数的单调递减区间（不需要证明）；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得、的值；
（2）根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可求；
（3）首先分离参数得，然后令，，则，代入可得，根据基本不等式求最值即得.
【详解】（1）由 ，，
，化简得，
即，
得，
解得，解得，.
（2）由（1）知，.
当时，，
令，则在单调递减，又，所以在单调递减；
同理：
当时，单调递减；
（3），其中，所以，
即，所以，令，，，所以
恒成立，只需求，的最小值，由知，，
当且仅当，即时，等号成立.所以，
即.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a≥f(x)恒成立(即a≥f(x)max可)或a≤f(x)恒成立（即a≤f(x)min可）；② 数形结合(y=f(x)图象在 y=g(x)上方即可)；③ 讨论最值f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
一、单选题
1．已知是4与6的公倍数，，则（ ）
A．P⫋QB．
C．D．Q⫋P
【答案】C
【分析】根据题意得到.
【详解】因为4与6的最小公倍数为12，故，
故，ABD错误，C正确.
故选：C
2．已知，则下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质判断AC选项，由指数函数的性质判断B选项，由幂函数的性质判断D选项.
【详解】因为，所以，即A正确；
当时，，
当时，，则，
所以，故C正确；
对于B，因为是R上的递增函数，
所以，故B正确；
对于D，是R上的增函数，所以，故D错误；
故选：D.
3．存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部；命题的否定是（ ）
A．有的三角形的垂心在其内部.B．任意三角形的垂心在其内部.
C．有的三角形的垂心在其内部或边上.D．任意三角形的垂心在其内部或边上.
【答案】D
【分析】利用量词命题的否定即可得解.
【详解】量词命题的否定步骤为：改量词，否结论，
所以存在量词命题：有的三角形的垂心在其外部，
其否定为：任意三角形的垂心在其内部或边上.
故选：D.
4．已知是幂函数，满足，则（ ）
A．3B．27C．81D．243
【答案】B
【分析】设出，根据条件求出，故，求出答案.
【详解】设，则，即，解得，
故，所以.
故选：B
5．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，排除D，再判断出函数不是偶函数，选出正确答案.
【详解】的定义域为，排除D；
又，故，所以不是偶函数，排除BC；A正确.
故选：A
6．已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先根据求出，作差比较出.
【详解】因为，所以，
故，，
，故，
，故，
所以.
故选：B
7．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了（单位：）.停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（ ）个小时才能驾驶？（）.
A．12B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，列不等式，即可解得.
【详解】设他至少经过个小时才能驾驶汽车，
则，即，
由于在定义域上单调递减，
所以，故C项正确.
故选：C.
8．已知函数（），在区间上单调递增，则实数b的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用定义法得到时，函数单调递减，时，单调递增，从而得到.
【详解】任取，，
故.
当时，，，故，
故，，
故函数单调递减；
当时，，，故，
故，
函数单调递增；
又在区间上单调递增，所以.
故选：A
二、多选题
9．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】BD
【分析】根据得到，结合，得到且或，得到答案.
【详解】因为，又，
所以，
故，
又，
所以或，
故选：BD
10．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】A选项，将指数式化为对数式，得到A正确；BC选项，由对数运算法则进行判断；D选项，由换底公式进行求解.
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，由A选项得，D错误.
故选：AC
11．已知函数，且正实数满足，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．的最小值为0
C．D．的最小值为
【答案】ABCD
【分析】根据题意分四种情况讨论，结合对数函数和基本不等式相关知识判断答案即可.
【详解】①当，时，，则，故A正确；
②当，时，，
则，此时，
当且仅当时，即时等号成立，不符合；
③当，时，，，则，故C正确；
④当，时，，，
则，，
当时，有最小值为，故D正确，
此时成立，当时等号成立，故B正确.
故选：ABCD
12．已知函数，函数，其中，若函数恰有两个零点，则函数的零点可以是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】AD
【分析】求出函数的表达式，作函数的图象，利用数形结合进行求解即可.
【详解】当时，，；
当时，，.
，所以的大致图象为
当时，有零点0，4；
当时，由解得，所以有零点，2.
故选：AD.
三、填空题
13．设且，若函数的反函数的图像过点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】利用反函数的概念可得在函数的图像上，即求.
【详解】∵函数的反函数的图像过点，
∴在函数的图像上，
∴，即，
故答案为：.
14．函数的图象与平行线，，有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】作出的图象，不妨设，则由图可知，，从而可求出的取值范围.
【详解】的图象如图所示，
不妨设，因为的图象与平行线，，有且仅有三个交点，
所以由图可知，，
所以，即实数的取值范围是，
故答案为：
15．已知函数，任意给定一个非零常数t，均有，试写出一个满足条件的解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】可设，得为奇函数，再结合可得也为奇函数，从而可求解.
【详解】由题意知对于任意的非零常数都有，
设，，所以为奇函数，即
所以，由，即，、
得，所以应为一个奇函数，
故，且答案不唯一.
故答案为：.
16．已知是函数的零点，则 .
【答案】1
【分析】首先由可得，然后构造函数，由的单调性以及得，则的值可求.
【详解】令，，
由于，所以，即，
令，则，因为在上均大于0，且单调递增，
所以在上单调递增，所以，，所以.
故答案为：1.
四、解答题
17．已知集合，.
(1)若，则是的什么条件？
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)既不充分也不必要条件
(2)
【分析】（1）求出集合A，根据充分必要条件可判断；
（2）根据并集运算的定义可列式计算得解.
【详解】（1）由题知，即，解得，
所以；
由知，，所以是既不充分也不必要条件.
（2）因为，，所以，
解得，所以实数的取值范围为.
18．（1）已知，求的值；
（2）方程的两根分别为，求的值.
【答案】（1）3；（2）
【分析】（1）化对数式为指数式，进而求出；
（2）方法一：变形为，是方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，从而计算出答案；
方法二：解方程得到，，代入计算即可.
【详解】（1） 由知，，，
所以；
（2）方法一：，
，是方程的两根，
由根与系数的关系知，，，
；
方法二：，
解得，，
所以.
19．已知，，集合.
(1)若，求的取值范围；
(2)若A中含有无穷多个元素，且函数在区间内恰有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，且，再根据基本不等式求解最值即可；
（2）由题意，进而将题意转化为在有唯一解，再分情况讨论的值，根据零点存在定理求解即可.
【详解】（1），无解，所以，且，
故，
当且仅当时取等号，
又因为，且，所以的取值范围为.
（2）中含有无穷多个元素，所以，且，即.
函数在区间内恰有一个零点，即在有唯一解.
当时，，成立.
当时，，解得，由，解得，成立.
当时，，解得且.
特别地，当时，的零点为满足；
当时，的零点为满足；
综上所述，实数的取值范围为.
20．已知函数，满足.
(1)求a的值，证明：函数在区间单调递增；
(2)解关于x的不等式.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）由可解得a的值，再由定义法可求在区间单调性；
（2）由知，的图象关于对称，将转化为或利用换元法令，，则，解出t的范围即可得解.
【详解】（1），，由，解得.
任取，，，则，，
，
由，，，知，，即，所以函数在区间单调递增.
（2）由知，的图象关于对称，由，知，
，所以的取值范围为.
另解：，，则，即，
解得，所以，即，即，所以的取值范围为.
21．假设某学习小组对家庭每月用水的收费提供了如下两种模型：模型一：若用水量不超过基本月用水量，则只付基本费8元和损耗费c元（）；若用水量超过基本月用水量，则除了需付基本费和损耗费外，超过部分还需按元进行付费；模型二：用函数模型（其中k，m，n为常数，且）来模拟说明每月支付费用y（元）关于月用水量的函数关系.已知该市某家庭1—3月的用水量x分别为，和，支付的费用y分别为9元，19元和31元.
(1)写出模型一中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式；
(2)写出模型二中每月支付费用y（元）关于月用水量的函数解析式，并分析说明学习小组提供的模型哪个更合理？
【答案】(1)
(2)，，模型一与生活中的实际情况更接近
【分析】（1）分析出第2，3月份用水量和均大于最低限量，列出方程组，求出，，不妨设，推出矛盾，故，得到，求出答案；
（2）得到方程组，求出，，，得到解析式，并用三个方面说明模型一与生活中的实际情况更接近.
【详解】（1）由题意得，
第2，3月份水费均大于13元，故用水量和均大于最低限量，
于是有，解得，
从而，
再考虑1月份用水量是否超过最低限量，
不妨设，将代入中，得，
故，与矛盾，舍去，
故，即，解得，
故，
所以每月支付费用（元）关于月用水量的函数解析式.
（2），
由题意知，，即
由得，由得，
所以，解得，所以，
代入，解得，又，所以，
所以，.
模型一与生活中的实际情况更接近（言之有理即可）.
建议从以下三方面考虑：
原因一：惠民政策，生活中，比如：打车，交税，交气费等都是与模型一接近，
百姓缴费少；
原因二：指数爆炸，由知，关于x是快速增长，
但模型一在上匀速增长，更符合实际意义；
原因三：当时，，
由于，，，
所以，故，不符合实际意义.
22．若是奇函数.
(1)求，的值；
(2)记函数，求函数的单调递减区间（不需要证明）；
(3)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得、的值；
（2）根据对数函数的单调性结合复合函数的单调性可求；
（3）首先分离参数得，然后令，，则，代入可得，根据基本不等式求最值即得.
【详解】（1）由 ，，
，化简得，
即，
得，
解得，解得，.
（2）由（1）知，.
当时，，
令，则在单调递减，又，所以在单调递减；
同理：
当时，单调递减；
（3），其中，所以，
即，所以，令，，，所以
恒成立，只需求，的最小值，由知，，
当且仅当，即时，等号成立.所以，
即.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数a≥f(x)恒成立(即a≥f(x)max可)或a≤f(x)恒成立（即a≤f(x)min可）；② 数形结合(y=f(x)图象在 y=g(x)上方即可)；③ 讨论最值f(x)min≥0或f(x)max≤0恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
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