四川省凉山宁南中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

宁南中学2021—2022 学年高二上学期第二次月考试卷

理科数学

时间：120分钟   满分：150分

一、单选题（每个5分，共60分）

1．已知命题，那么是

A．   B． C．D．

2．椭圆x2+4y2=4的焦点坐标为（    ）

A．（±2，0） B．（0，±2） C． D．

3．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．7

4．若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（    ）

A．6 B． C．7 D．

5．若椭圆过点，则其焦距为（    ）

A．          B．          C．           D． 

6．在中，条件甲：，条件乙：，则甲是乙的（    ）.

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

7．过点作圆的切线，则切线的长为（    ）

A． B． C． D．

8．已知三个顶点的坐标分别为，，，则外接圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

9．“且”是“方程表示椭圆”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

10．下列有关命题的说法正确的是（    ）.

A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

B．“”是直线与圆相交的充要条件

C．命题“若，，成等比数列，则”的逆命题为真命题

D．命题“若，则”的逆否命题为真命题

11．已知两点，点C是圆上任意一点，则面积的最大值是（    ）

A．4 B．8 C． D．6

12．已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（每个5分，共20分）

13．过原点的直线将圆的面积平分，则此直线的方程为___________.

14．执行如图所示的程序框图(图中且)，当输入时，输出，若要输出则应输入_______________________．

15．已知是双曲线上的一点，，是双曲线的两个焦点，且，则的面积是______.

16．下列四个命题中，正确的序号是______.

①设，则圆与内切.

②平面内与两定点，距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线.

③平面内与两定点，距离之和等于1的点的轨迹为椭圆.

④直线与直线的距离是.

三、解答题（共70分）

17．（10分）已知命题：关于的方程有实根；命题：关于的函数在上是增函数.

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是假命题，是真命题，求实数的取值范围.

18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，．

Ⅰ求圆C的方程；

Ⅱ已知点，，若P为圆C上的一动点，求的取值范围．

19．（12分）已知圆及直线：.

(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；

(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.

20．（12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）若点B(0，2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．

21．（12分）如图所示，四棱锥中，底面，，，，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

22．（12分）椭圆：内有一点

（1）求经过并且以为中点的弦所在直线方程；

（2）如果直线：与椭圆相交于、两点，求的取值范围．

2023届高二上第二次月考理科数学答案

1．B  2．C  3．D   4．A  5．A    6．D.

7．C  8．C  9．B   10．D  11．B   12．A

13．    14．2   15．    16．②④

17．（1）已知命题可化简为：或，，若是真命题，则实数的取值范围是；

（2）若且是假命题，或是真命题，则满足真假和假真两种情况，则满足或，解得或，

所以实数的取值范围是.

18．解：Ⅰ设圆心则，即，

由得，解得，，

圆的半径， 圆C的方程为：．

Ⅱ设，则，即

则

，

，

故的取值范围是．

19．解：(1)证明：直线的方程可化为，

由方程组，解得

所以直线过定点M(3，1)，

圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，

因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√，

所以定点M(3，1)在圆内，

故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；

(2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，

此时，

此时，所以直线AB的方程为，即.

20．（1）由抛物线C：过点，

可得，解得.

所以抛物线C的方程为，其准线方程为.

（2）根据题意，易知点不在抛物线上.

①当直线l的斜率不存在时，符合题意；

②当直线l的斜率为0时，符合题意；

③当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为，

由，得，由，得，

故直线l的方程为.

综上直线l的方程为或或.

21．（1）证明：因为，，，

所以，，

在中，，，，

由余弦定理可得：

解得：，所以，所以是直角三角形，

又为的中点，所以又，所以为等边三角形，

所以，所以，又平面，平面，

所以平面.

（2）解：由（1）可知，以点为原点，以,，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，.

设为平面的法向量，则，即

设，则，，即平面的一个法向量为，

所以

所以直线与平面所成角的正弦值为.

22．（1）设以为中点的弦的直线与椭圆相交于,

两式相减得

所求直线方程为即

（2）设直线：与椭圆相交于两点，