2023南充高级中学高二下学期第二次月考试题数学（理）含答案

理科数学参考答案：

1．D  2．B  3．C  4．A  5．B  6．C  7．D  8. B

9．C【详解】设小正方形边长1，可得黑色平行四边形底为，高；黑色等腰直角三角形直角边为2，斜边2，大正方形边长2，落入黑色部分

10．B【详解】以为坐标原点建立平面直角坐标系如下图所示，记且垂足为，

在轴上的投影点为，设抛物线方程为，

由题意可知：，

所以，所以，代入抛物线方程可知，

所以，所以抛物线方程为，又因为，所以，

所以，所以，所以的高度为，

11．D【详解】函数可视为动点M(x,2lnx)与动点N(a,2a)间距离的平方,动点M在函数y=2lnx上,动点N在直线y=2x上,即直线上的动点到曲线的最小距离,由y=2lnx得,解得x=1,所以曲线上的点(1,0)到直线y=2x的距离最小,距离平方的最小值为,则,又存在使得成立,则,此时N为垂足, ,解得a=

12．A【详解】构造函数，其中，则，

当时，；当时，.

所以，函数的增区间为，减区间为.

因为，，

，

因为，则，则，故.

13．种.

14．

15．【详解】连接，过作，

由，则易知，，，

，，

所以在中，，整理得，所以双曲线的离心率.

16．【详解】设，则，

∴为奇函数，又∵，∴在上单调递增，

由已知得，则，

∴，∴，即，

又∵，∴，

令，则，则转化为在上，函数的图象在函数的图象的上方，设的切点为且过原点的方程为，将原点代入求得，即切线方程为，则，即实数的取值范围为.

17．【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴曲线的普通方程为．∵直线的极坐标方程为，

∴．∵，．∴直线的直角坐标方程为．

（2）由（1）知，点在直线上，∴直线的参数方程为（为参数），

代入得，．设，是上述方程的两根，

∴，，．∴．

18．【解析】（1），，

解得，则，

若，则；若，则或,

即函数在处有极大值且极大值为，符合题意，故：

（2）由（1）知，，，

若，则；若，则或,

在上单调递增，在上单调递减,

又，.

19．【详解】（1）由频率分布直方图可知，，

解得. 该校学生满意度打分不低于分的人数为 .

（2）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为和，

抽取的人采用分层抽样的方法，在内的人数为人，在内的人数为人.

设内的人打分分别为，，内的人打分分别为，，，

则从的受访学生中随机抽取人，人打分的基本事件有：

，，共种.

其中两人都在内的可能结果为，

则这人至少有一人打分在的概率.

20．【详解】（1）证明：取中点，连接，

因为是正三角形，所以，

因为平面平面平面，平面平面

所以平面，又因为平面，

所以，又因为，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面平面，所以平面.

（2）连接交于，取中点，连接，

所以，因为平面，所以平面，

因为平面，所以，

又因为四边形是菱形，所以，

所以两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

，，设平面的法向量为，

，令平面的法向量为，设二面角的大小为，.

所以二面角正弦值为.

21．【详解】（1）由题意可得，，

又因为椭圆中，所以，，，故椭圆的方程为.

（2）当直线斜率存在时，设，，直线方程为，

联立得，

，即，

所以，，

因为，所以，

又因为

，

所以，即，

所以，

因为，所以，即，

当直线斜率不存在时，设，，，且，

所以，解得，

又因为在椭圆上，则，所以，，所以，

综上的取值范围为.

22．【详解】（1）函数的定义域为．

易知．

当时，若，则，若，则；

当时，若或，则，若，则；

当时，恒成立；

当时，若或，则，若，则．

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在，上单调递减；

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在，上单调递减．

（2）由，

得，

所以，

则．

要证，

需证，

又，所以即证，即证．

令，则．

设，则，

设，则

所以在上单调递增，则，

所以，在上单调递增．

由，得，

所以，

所以需证，即证．

设，则，

所以在上单调递增，则，

所以 ,故．