四川省攀枝花市第七高级中学校2021-2022学年高二上学期第二次月考数学（理）试题

届高二上期第二次月考数学（理）试题

一． 选择题（本大题共小题，每小题分，总分分）

1. 椭圆的焦点坐标为　　

A． B． C． D．

2. 从装有除颜色外完全相同的个红球和个白球的口袋内任取个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　

A．至少有个白球；都是白球   B．至少有个白球；至少有个红球

C．恰有个白球；恰有个白球   D．至少有一个白球；都是红球

3. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有人坐一辆车，有辆车是空的；人坐一辆车，有个人需要步行．问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为（　　）

A． B． C． D．

4. 设随机变量服从，若随机变量的数学期望为，则　　

A． B． C． D．

5. 如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是　　

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 

B． 

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

6. 五个同学排队，甲乙相邻且都不与丙相邻，则排队方式有几种　　

A． B． C． D．

7. 已知两定点，，直线，在上满足的点的个数为　　

A． B． C． D．或或

8. 在区间上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是（　　）

A． B． C． D．

9. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为　　

A． B． C． D．

10. “你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题．某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为　　

A．

B．

C．

D．

11. 苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图，则此抛物线顶端到连桥距离为　　

A．

B．

C．

D．

12. 已知是双曲线的右焦点，，分别为其左、右顶点．为坐标原点，为其上一点，轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为　　

A． B． C． D．

二． 填空题（本大题共小题，每小题分，总分分）

13. （理）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高二年级抽取　　     名学生．

（文）与的最大公约数是

14. 已知样本方差，则样本的方差为　 　．

15. 某医院从名医生和名护士中选派人参加志愿者服务，事件表示选派的人中至少有名医生，事件表示选派的人中有名护士，则　   　．

16. 已知为双曲线的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点．若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为 　             　．

三． 解答题（本大题共小题，总分分）

17. （分）（1）已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是，且双曲线过点，求双曲线的方程；

（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于两点，线段的中点为，求椭圆的方程；

18. （分）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为.

（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求的展开式中项的系数.

19. （分）（理）某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级名选手，现从每个班级名选手中随机抽取人回答这个问题．已知这人中，甲班级有人可以正确回答这道题目，而乙班级人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．

（1）求甲、乙两个班级抽取的人都能正确回答的概率；

（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？

20. （分）某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的．

（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；

（2）估计该公司投入万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到如表：

表格中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程．

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．

21. （分）已知分别为椭圆的左、右焦点，焦距为，过作斜率存在且不为零的直线交于两点，且△的周长为．

（1）求椭圆的方程；（2）已知弦的垂直平分线交轴于点，求证：．

22. （分）已知抛物线的准线与直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）、为抛物线上的两个不重合的动点，且线段的中点在直线上，设线段的垂直平分线为直线．

（ⅰ）证明：经过定点；

（ⅱ）若交轴于点，设的面积为，求的最大值．

届高二上期第二次月考数学（理+文）试题参考答案与试题解析

1．椭圆的焦点坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：椭圆的标准方程为：可得，，可得，所以，

故选：．

2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是　　

A．至少有1个白球；都是白球   B．至少有1个白球；至少有1个红球 

C．恰有1个白球；恰有2个白球  D．至少有一个白球；都是红球

【解答】解：、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故不对；

、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故不对；

、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故对；

、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故不对；

故选：．

3．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9个人需要步行．问人与车各多少？如图是该问题中求人数的程序框图，执行该程序框图，则输出的值为　　

A．31 B．33 C．35 D．39

【解答】解：模拟程序的运行，可得

执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

满足条件，执行循环体，，，

不满足条件，退出循环，输出的值为39．

故选：．

4．（理）设随机变量服从，若随机变量的数学期望为4，则　　

A． B． C． D．

故选：D．

5．（理）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是　　

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 

B．

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

【解答】解：由题中图象可知三种品牌手表日走时误差（均值）相等，

由正态密度曲线的性质，可知越大，正态曲线越扁平，越小，正态曲线越尖陡，

故三种品牌手表日走时误差的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．

故选：．

6．五个同学排队，甲乙相邻且都不与丙相邻，则排队方式有几种　　

A．120 B．24 C．48 D．36

【解答】解：根据题意，假设5人中出甲乙丙之外的两人为、，分3步进行分析：

①，将甲乙看成一个整体，考虑2人的顺序，有种情况，

②，将、全排列，有种情况，排好后有3个空位，

③，在3个空位中任选2个，安排甲乙整体与丙，有种情况，

则满足题意的排法有种；

故选：．

7．已知两定点，，直线，在上满足的点的个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．0或1或2

【解答】解：根据题意，两定点，，且满足，

则点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，则，则椭圆的方程为，

联立，可得，

则有△，直线与椭圆相切，即在上满足的点有1个，

故选：．

8．在区间，上任取两个数，则这两个数之和小于的概率是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设区间，上任取两个数为，，则、，，

则这两个数之和小于为，

设这两个数之和小于为事件，

由几何概型中的面积型可得：（A），

故选：．

9．若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题可知，焦距，不妨设点是双曲线右支上的一点，

由椭圆和双曲线的定义可知，，解得，

在△中，由余弦定理可知，．

故选：．

10．最近“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题．有如下六种垃圾桶：

一天，张三提着六袋分别属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒（随机投放垃圾），张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三恰好投错三袋垃圾的概率为　　

A．

B．

C．

D．

选：．

11．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥处各有一窗户，两窗户的水平距离为，如图2，则此抛物线顶端到连桥距离为　　

A．

B．

C．

D．

【解答】解：如图，抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，

又知抛物线过，，

，解得：，．

此抛物线顶端到连桥距离为：．

故选：．

12．已知是双曲线的右焦点，，分别为其左、右顶点．为坐标原点，为其上一点，轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：如图，设，，，．

则直线，直线．

直线，的交点，

，则，

双曲线的离心率为5．

故选：．

13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为56的样本，则应从高二年级抽取　21　名学生．

【解答】解：由题意可得，从高二年级抽取的人数为．

故答案为：21

14．已知样本，，，，方差，则样本，，，，的方差为　8　．

【解答】解：根据题意，设样本，，，，方的平均数为，方差为，

样本，，，，的平均数为，方差为，

样本，，，，方的平均数为，则，

其方差为，则有，

对于样本，，，，，其平均数为，

则，

其方差，

故答案为：8．

15．某医院从3名医生和3名护士中选派4人参加志愿者服务，事件表示选派的4人中至少有2名医生，事件表示选派的4人中有2名护士，则　   　．

答案为：．

16．已知为双曲线的右焦点，为坐标原点，点是以为直径的圆与双曲线的一个公共点．若点关于点的对称点也在双曲线上，则双曲线的渐近线的斜率为 　　．

【解答】解：设点关于点的对称点为，左焦点为，根据题意可得，

所以为以为直径的圆与双曲线的交点位于轴右边的点，以为直径的圆的方程为，

联立方程，解得点的坐标为，的中点的坐标为，

又点在双曲线线上，代入双曲线方程得，，

，，

把代入化简有，所以，所以渐近线的斜率为．故答案为：．

17．(1)已知双曲线过点，渐近线方程为，求双曲线的方程；

（2）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点的坐标为，直线交椭圆于、两点，线段的中点为，求椭圆的方程；

【解答】解：（1）由题意设双曲线方程为3x2﹣y2＝λ（λ≠0），把点（2，3）代入，可得3×22﹣32＝λ，即λ＝3．

∴所求双曲线方程为；

（2）由题意设椭圆方程为，，，，，

则①，②

①②，可得

因为线段中点，所以，所以所以，

因为，所以，所以椭圆的方程为

18．（理）已知的展开式中所有二项式系数之和为1024．

（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；（2）求展开式中项的系数．

【解答】解：（1）由题意可得：，解得，

的通项公式为：．

当，6时，可得有理项：，．

（2）展开式中项的系数为：

．

时，．故展开式中项的系数为165．

19．某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．

（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；

（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为，，求随机变量，的期望，和方差，，并由此分析由哪个班级代表学校参加大赛更好？

【解答】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率．

（2）甲班级能正确回答题目人数为，的取值分别为1，2，

，，则，．

乙班级能正确回答题目人数为，的取值分别为0，1，2，

，，．

由，知，由甲班级代表学校参加大赛更好．

20．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；

（2）试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；

（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

由表中的数据显示，与之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出关于的回归直线方程．

【解答】解：（1）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知，故，即图中各小长方形的宽度为2．（3分）

（2）由（1）知各小组依次是，，，，，，，，，，，，

其中点分别为1，3，5，7，9，11，

对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，

故可估计平均值为．（7分）

（3）由（2）可知空白栏中填5．

由题意可知，，，，

根据公式，可求得，（10分）

，（11分）

所以所求的回归直线方程为．（12分）

21．已知F1，F2分别为椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，焦距为2，过F2作斜率存在且不为零的直线l交C于A，B两点，且△F1AB的周长为8．

（1）求椭圆C的方程；（2）已知弦AB的垂直平分线m交x轴于点P，求证：|AB|＝4|PF2|．

【解答】解：（1）因为焦距为2，所以2c＝2，解得c＝1，由椭圆的定义可知△F1AB的周长为8，

所以4a＝8，解得a＝2，所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的方程为+＝1．

（2）证明：设直线l的方程为x＝my+1，m≠0，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，

所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以AB的中点为（，），即（，），

所以线段BA的垂直平分线的方程为y＝﹣m（x﹣）＝﹣mx+，

令y＝0，得x＝，所以xP＝，

所以|PF2|＝|1﹣xP|＝＝，

所以|AB|＝|y1﹣y2|＝＝＝，

所以＝＝＝4，所以|AB|＝4|PF2|．

22．已知抛物线的准线与直线的距离为4．

（1）求抛物线的方程；

（2）、为抛物线上的两个不重合的动点，且线段的中点在直线上，设线段的垂直平分线为直线．

（ⅰ）证明：经过定点；

（ⅱ）若交轴于点，设的面积为，求的最大值．

【解答】解：（1）抛物线的准线方程为，由已知得，解得，

故抛物线的方程为；

（2）设直线的方程为，点，，，，

（ⅰ）证明：由消去得，，

则△，即有，且，，

因为线段的中点在直线上，所以，可得，

所以线段的垂直平分线的方程为，即为，

故经过定点；

（ⅱ）由（ⅰ）知，所以点，则，

因为，又因为到直线的距离，

所以，

由及，可知，

所以，

当时，取得最大值．