2022年中考数学一轮考点课时练16《相似三角形》(2份，教师版+原卷版)

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一、选择题
Rt△ABC的两条直角边分别为3cm、4cm,与它相似的Rt△A/B/C/的斜边为20cm,那么Rt△A/B/C/的周长为（ ）
A.48cm B.28cm C.12cm D.10cm
【答案解析】A
如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=l.6，则EF=（ ）
A.2.4 B.1.8 C.2.6 D.2.8
【答案解析】答案为：A；
下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是( )
A.两个等边三角形
B.有一个角是35°的两个等腰三角形
C.两个正方形
D.两个圆
【答案解析】答案为：B
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1： SKIPIF 1 < 0 ，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是( )
A.(-1.4，-1.4) B.(1.4，1.4) C.(- SKIPIF 1 < 0 ，- SKIPIF 1 < 0 ) D.( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 )
【答案解析】答案为：D
如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1，2)，(-2，3)，(-1，0)，把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点A/，B/，C/.下列说法正确的是( )
A.△A/B/C/与△ABC是位似图形，位似中心是点(1，0)
B.△A/B/C/与△ABC是位似图形，位似中心是点(0，0)
C.△A/B/C/与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D.△A/B/C/与△ABC不是相似图形
【答案解析】答案为：B
如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米，A，B，C三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G处，测得CG=15米，然后沿直线CG后退到点E处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG=3米，小明身高EF=1.6米，则凉亭的高度AB约为( )
A.8.5米 B.9米 C.9.5米 D.10米
【答案解析】答案为：A.
一个钢筋三角架的三边长分别为20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种或四种以上
【答案解析】答案为：B.
如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．
则下列结论：
①四边形ABEC是正方形；
②CO：BE=1：3；
③DE=BC；
④S四边形OCEF=S△AOD，正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案解析】答案为：D.
解析：①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BF=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠BAF=∠CEF，
∵∠AFB=∠CFE，∴△ABF≌△ECF(AAS)，∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴四边形ABEC是正方形，故此题结论正确；
②∵OC∥AD，∴△OCF∽△OAD，∴OC：OA=CF：AD=CF：BC=1：2，
∴OC：AC=1：3，∵AC=BE，∴OC：BE=1：3，故此小题结论正确；
③∵AB=CD=EC，∴DE=2AB，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=BC，
∴DE=2×，故此小题结论正确；
④∵△OCF∽△OAD，∴，∴，
∵OC：AC=1：3，∴3S△OCF=S△ACF，∵S△ACF=S△CEF，
∴，
∴，故此小题结论正确．
二、填空题
如图，已知两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为1：3把线段AB缩小，则点A的对应点坐标是
【答案解析】答案为：(2，1)或(-2，-1)
△ABC与△A/B/C/是位似图形，且△ABC与△A/B/C/的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A/B/C/的面积是
【答案解析】答案为：12
在比例尺1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为 km。
【答案解析】答案为：800.
如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC=OD)测量零件的内孔直径AB.若OC∶OA=1∶2，量得CD=10 mm，则零件的厚度x=_____mm.
【答案解析】答案为：2.5.
如图，D是等边三角形ABC的边AB上一点，AD=2，BD=4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则eq \f(CF,CE)=________.
【答案解析】答案为：eq \f(5,4).
如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为 ．
【答案解析】答案为：或.
解析：分两种情况：
①当点B′落在AD边上时，如图1．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90°，
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，
∴∠BAE=∠B′AE=∠BAD=45°，∴AB=BE，∴a=1，∴a=；
②当点B′落在CD边上时，如图2．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=a．
∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，
∴∠B=∠AB′E=90°，AB=AB′=1，EB=EB′=a，
∴DB′==，EC=BC﹣BE=a﹣a=a．
在△ADB′与△B′CE中，，
∴△ADB′∽△B′CE，∴=，即=，解得a1=，a2=0(舍去)．
综上，所求a的值为或．故答案为或．
三、作图题
在13×13的网格图中，已知△ABC和点M（1，2）．
（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；
（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．
【答案解析】解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．
四、解答题
如图，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.
求证：(1)△DAE≌△DCF；
(2)△ABG∽△CFG.
【答案解析】证明：(1)∵△DEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴DE=DF，DA=DC，
∠B=∠EDF=∠ADC=90°，∠EFD=∠DEF=45°，
∴∠CDF＋∠ADF=∠ADE＋∠ADF=90°，
∴∠CDF=∠ADE.
在△DAE与△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(DA＝DC，,∠ADE＝∠CDF，,DE＝DF，))
∴△DAE≌△DCF.
(2)由(1)知∠DFC=∠DEF=45°.
∵∠EFD=45°，∠DFC=45°，
∴∠CFG=∠DFC＋∠EFD=90°，
∴∠CFG=∠B.
又∵∠CGF=∠AGB，
∴△ABG∽△CFG.
如图，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离.
【答案解析】解：如图所示，过点C作CE⊥PQ于点E，交AB于点D.
设CD的长为x，则CE的长为x＋60.
∵AB∥PQ，∴△ABC∽△PQC，
∴eq \f(CD,CE)=eq \f(AB,PQ)，∴eq \f(CD,AB)=eq \f(CE,PQ)，即eq \f(x,150)=eq \f(x＋60,180)，
解得x=300，∴x＋60=360.
答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米.
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC=CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF=CD，连接AF．
(1)判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由．
(2)若AC=10，tan∠CAE=，求AE的长．
【答案解析】解：
(1)直线AF是⊙O的切线，理由是：连接AC，
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵CF=CD，∴∠CAF=∠EAC，
∵AC=CE，∴∠E=∠EAC，
∵∠B=∠E，∴∠B=∠FAC，
∵∠B+∠BAC=90°，∴∠FAC+∠BAC=90°，∴OA⊥AF，
又∵点A在⊙O上，
∴直线AF是⊙O的切线；
∴(3x)2+(4x)2=100，解得x=2，∴AM=8，
∵AC=CE，
∴AE=2AE=2×8=16．