专题12 圆中的角与锐角三角函数-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题12 圆中的角与锐角三角函数

1、如图，△ABC内接于⊙O．

（Ⅰ）如图①，连接OA，OC，若∠B＝28°，求∠OAC的度数；

（Ⅱ）如图②，直径CD的延长线与过点A的切线相交于点P．若∠B＝60°，⊙O的半径为2，求AD，PD的长．

2、如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，P是的中点，过点P作AC的垂线，交AC的延长线于点D．

（1）求证：DP是⊙O的切线；

（2）若AC＝5，sin∠APC＝，求AP的长．

3、如图1所示，以点M（﹣1，0）为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点A，B，C，D，与⊙M相切于点H的直线EF交x轴于点E（﹣5，0），交y轴于点F（0，）．

（1）求⊙M的半径r；

（2）如图2所示，连接CH，弦HQ交x轴于点P，若cos∠QHC＝，求的值；

（3）如图3所示，点P为⊙M上的一个动点，连接PE，PF，求PF+PE的最小值．

4、如图，⊙O的直径AB＝10，弦BC＝，点P是⊙O上的一动点（不与点A、B重合，且与点C分别位于直径AB的异侧），连接PA，PC，过点C作PC的垂线交PB的延长线于点D．

（1）求tan∠BPC的值；

（2）随着点P的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；

（3）运动过程中，AP+2BP的最大值是多少？请你直接写出它来．

5、在图1至图3中，⊙O的直径BC＝30，AC切⊙O于点C，AC＝40，连接AB交⊙O于点D，连接CD，P是线段CD上一点，连接PB．

（1）如图1，当点P，O的距离最小时，求PD的长；

（2）如图2，若射线AP过圆心O，交⊙O于点E，F，求tanF的值；

（3）如图3，作DH⊥PB于点H，连接CH，直接写出CH的最小值．

6、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：AD2＝AB•AF；

（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，

7、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．

（1）求证：直线EC为圆O的切线；

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，

①求证：PC2＝PF•PA

②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

[来源:Z_xx_k.Com]

8、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．

（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；

（2）求证：PC是⊙O的切线；[来源:学科网]

（3）若tanF＝，AG﹣BG＝，求ED的值．

9、如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．

（1）求出⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；

（2）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA＝45°，请求出EF的长？

[来源:Zxxk.Com]

10、如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．

（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．

（2）连结PB，求tan∠BPC的值．

（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．

（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．

11、如图F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．

（1）求证：△MFG为等腰三角形．

（2）若AB∥MD，求证：FG2＝EG•MF．

（3）在（2）的条件下，若DF＝6，tan∠M＝，求AG的长．

12、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，连接AC，过弧BD上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．

（1）求证：△ECF∽△GCE；

（2）求证：EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若，求EM的值．

13、如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，F是CD上一点，且BF＝DF，延长FB至点P，连接CP，使PC＝PF，延长BF与⊙O交于点G，连结BD，GD．

（1）连结BC，求证：CD＝GB；[来源:Zxxk.Com]

（2）求证：PC是⊙O的切线；[来源:学科网ZXXK]

（3）若tanG＝，且AE﹣BE＝，求FD的值．