专题13 宽高模型解决二次函数中的面积问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题13 宽高模型解决二次函数中的面积问题

【模型展示】面积中的宽高模型

【解法】一：如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD

图1                    图2

如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G，

则S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG

说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式”

【解法】二：如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD

图3                   图4

如图4，过点B作BH⊥AD交于点H，

则S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC

说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高.

【解法】三：如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD

图5                      图6

如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E，

则S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG

说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高.

【解法】四：如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则S△ABC=S△ACD-S△ABD

图7                               图8

如图8，过点C作CF⊥AD交于点F，

则S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB

说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高.

【模型总结】无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美。

1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；
 

解：（1）y=-x2-2x+3；

（1）如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q，

∵A（-3,0），B（0,3）

∴直线AC：y=x+3

设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3）

∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x

∴S△PAC=PQ·OA

∴（-x2-3x）·3=3

解得：x1=-1,x2=-2

∴P（-1,4）或（-2,3）

2、在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：
“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．
例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．
（1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）．
①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标；
②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值．
（2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0．
①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围；
②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围．

解：（1）①由题意：a=4．
当t＞2时，h=t-1，
则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）；
当t＜1时，h=2-t，
则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）；
②∵根据题意得：h的最小值为：1，
∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4；
故答案为：4；
（2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8，
∴a=4，h=2，∴0≤m≤．
∵m＞0，
∴0＜m≤．

3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．
①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标；
②若tan∠AED=，求此时点D坐标；
（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q所经过的路径长等于          （直接写出答案）

解：（1）将A（-4，0），B（2，0）代入y=ax2+bx+6（a≠0），

可得：a=，b=

∴y=x2x+6

（2）①如图所示，由“宽高模型”易证得S△ADE=DF·OE

由A（-4,0）E（0，-2）可得：直线AE解析式为：y=x-2

设D（x，x2x+6）则F点的纵坐标为x2x+6

∵点F在直线AE上，∴F的横坐标为x2x-16

∴DF=x2x+16

又OE=2

∴S△ADE=DF·OE=x2x+16=（x+）2+

∵<0，∴抛物线开口向下

∴当x=-时，S△ADE取最大值，此时点D（-，）

②如图，过点A作AH⊥DE交DE于点H，

∵tan∠AED=，∴

∵OA=4，OE=2

∴AE=

∴AH=，HE=3

易证△AHG∽△EOG

∴=

设OG=m，则HG=m

∴GE=HE-HG=3-m

∴在Rt△OGE中，由勾股定理可得：m=2

∴OG=2

∴G（-2,0）

∴直线GE解析式为：y=-x-2

∴联立抛物线和直线GE函数解析式，可得：D（）

（3）如图所示，∵Q点随P点运动而运动，P点在线段AC上运动，
∴Q点的运动轨迹是线段，
当P点在A点时，Q（-4，-4），
当P点在C点时，Q（-6，6），
∴Q点的轨迹长为2.

4、如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积;

（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

【解析】解：（1）令，得   解得

令，得∴ A   B   C 

（2）∵OA=OB=OC=    ∴BAC=ACO=BCO=

∵AP∥CB，        ∴PAB=

      过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形

令OE=，则PE=  ∴P

∵点P在抛物线上 ∴  

解得，（不合题意，舍去）
      ∴PE=

∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=

(3)． 假设存在

∵PAB=BAC =   ∴PAAC

∵MG轴于点G，   ∴MGA=PAC =

在Rt△AOC中，OA=OC=   ∴AC=

在Rt△PAE中，AE=PE=   ∴AP=  

设M点的横坐标为，则M

①点M在轴左侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时，有=

∵AG=，MG=即  解得（舍去） （舍去）

(ⅱ) 当MAG PCA时有=

即 解得：（舍去）  ∴M

② 点M在轴右侧时，则

(ⅰ) 当AMG PCA时有=

∵AG=，MG=   ∴   解得（舍去）         ∴M

(ⅱ) 当MAGPCA时有=

即 解得：（舍去）    ∴M  

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似

M点的坐标为，，

5、如图,在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D．

（1）求b,c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0）   B（4，5）

∵二次函数的图像经过点A（-1，0）B(4,5)

∴

解得：b=-2   c=-3

（2）如２６题图：∵直线AB经过点A（-1，0）   B(4,5)

∴直线AB的解析式为：y=x+1

∵二次函数 ∴设点E(t， t+1),则F（t，）

∴EF= =

∴当时，EF的最大值=∴点E的坐标为（，）

（3）①如２６题图：顺次连接点E、B、F、D得四边形ＥＢＦＤ．

可求出点F的坐标（，）,点D的坐标为（1，-4）

S　=　S　+　S = = 　

②如２６题备用图：ⅰ)过点E作a⊥EF交抛物线于点P,设点P(m,)

则有：      解得:,

∴,　

ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于，设（n，）

则有：  　　解得： ，（与点F重合，舍去）

∴

综上所述：所有点P的坐标：，（.  能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．