专题16 圆中的弧长综合问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

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专题16 圆中的弧长综合问题
1、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作AD的垂线EF交直线AD于点E．
（1）求证：EF是⊙O的切线．
（2）若∠CAB＝36°，⊙O的半径为12，求的长．

（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠BAC，
∵点C是的中点，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴OC∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OC⊥EF，即EF是⊙O的切线；
（2）连接OD，
∵∠BOC＝2∠CAB＝2×36°＝72°，
∵，
∴∠BOD＝2∠BOC＝144°，
∴的长＝＝π．

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.
（1）若∠BCD＝36°，BC＝10，求的长；
（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）求证：2CE2＝AB·EF.

（1）解：如解图，连接OD，

第6题解图
∵∠BCD＝36°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×36°＝72°，
∵BC是⊙O的直径，BC＝10，
∴OB＝5，
∴l＝＝2π；
（2）解：DE是⊙O的切线；理由如下：
∵BC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝180°－∠BDC＝90°，
又∵点E是线段AC中点，
∴DE＝AC＝EC，
在△DOE与△COE中，
，
∴△DOE≌△COE(SSS)．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODE＝∠OCE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（3）证明：由（2）知，△DOE≌△COE，
∴OE是线段CD的垂直平分线，
∴点F是线段CD中点，
∵点E是线段AC中点，则EF＝AD，
∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，
∴△ACD∽△ABC，
则＝，即AC2＝AB·AD，
而AC＝2CE，AD＝2EF，
∴(2CE)2＝AB·2EF，
即4CE2＝AB·2EF，
∴2CE2＝AB·EF.
3、如图，⊙O的直径AB＝4，C为⊙O上一点，AC＝2.过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧上一动点(不与A、C重合)．
(1)求∠APC与∠ACD的度数；
(2)当点P移动到劣弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形；
(3)当PC为⊙O的直径时，求证：△APC与△ABC全等．



(1)解：∵AC＝2，OA＝OB＝OC＝AB＝2，
∴AC＝OA＝OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC＝∠ACO＝∠OAC＝60°，
∴∠APC＝∠AOC＝30°，
又∵DC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO＝90°，
∴∠ACD＝∠DCO－∠ACO＝90°－60°＝30°；

(2)证明：如解图，连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC＝60°，
∴∠COB＝120°，
当点P移动到的中点时，∠COP＝∠POB＝60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC＝CP＝OB＝PB，
∴四边形OBPC为菱形；
(3)证明：∵CP与AB都为⊙O的直径，
∴∠CAP＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA(HL)．
4、如图，AB是⊙O的切线，切点为B，OA交⊙O于点C，∠AOB的平分线交AB于点D，连结CD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝2BD，CD＝2，求、线段AB及线段AC围成的阴影部分的面积．

（1）证明：∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝90°，
∵CD是∠AOB的平分线，
∴∠BOD＝∠COD，
∵OB＝OC，OD＝OD，
∴△BOD≌△COD（SAS），
∴∠OCD＝∠OBD＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵△BOD≌△COD，
∴BD＝CD＝2，
∵AD＝2BD，
∴AD＝2CD，
∵∠ACD＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AD＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∴OB＝2，
∵∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∴阴影部分的面积＝AB•OB﹣S扇形BOC＝6×2﹣＝6﹣2π．

5、如图，已知在等腰△ABC中，AC＝BC，以AC为直径作⊙O交AB于点D．
（1）若AC＝2，∠A＝30°，求的长．
（2）过点D作DE⊥BC于点E，求证：DE是⊙O的切线．

（1）解：连接OD，如图所示：
∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°，
∵AC＝2，AC为⊙O的直径，
∴OA＝OC＝1，
∴的长＝＝；
（2）证明：∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ODA，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠B＝∠ODA，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

6、点B是⊙O外一点，BP是∠ABC的角平分线，BA与⊙O的一个交点为D，过D作BP的垂线交BP于E，交BC于F，交⊙O于G．
（1）如图1，BC与⊙O交于点M和点N，当点G是的中点时，求证：BA是⊙O的切线；
（2）如图2，当BC过点O时，画出点O到BP的距离d，猜想线段FG与d有怎样的数量关系，并证明．

（1）证明：连接OD，OG，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠FBE，
∵DG⊥BP，
∴∠BED＝∠BEF＝90°，
∵BE＝BE，
∴△DBE≌△FBE（ASA），
∴∠BDE＝∠BFE，
∵∠BFE＝∠GFN，[来源:Z|xx|k.Com]
∴∠GFN＝∠BDE，
∵点G是的中点，
∴OG⊥MN，
∴∠G+∠GFN＝90°，
∵OD＝OG，
∴∠G＝∠ODG，
∴∠ODG+∠BDF＝90°，
∴∠BDO＝90°，
∴BA是⊙O的切线；
（2）解：FG＝2d，
过O作OH⊥BP于H，交AB于M，
∴∠BHM＝∠BHO＝90°，
∵BP是∠ABC的角平分线，
∴∠MHB＝∠OHB，
∵DG⊥BP，
∵BH＝BH，
∴△MBH≌△OBH（ASA），
∴OH＝HM，∠BMH＝∠BOH，
∴OM＝2OH，
连接OD，OG，
∵OD＝OG，
∴∠ODG＝∠OGD，
∵OM⊥AB，DG⊥AB，
∴OM∥DG，
∴∠ODG＝∠DOM，∠BOM＝∠BFD，
∴∠DOM＝∠G，
∴∠BMO＝∠DFO，
∴∠DMO＝∠OFG，
∵OD＝OG，
∴△ODM≌△GOF（AAS），
∴OM＝FG，
∴FG＝2OH，
即FG＝2d，


7、已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．
（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；[来源:学,科,网Z,X,X,K]
（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；
（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．

（1）证明：如图1中，

∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵OB＝OA＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，
∴∠A＝∠C，
∵OB＝OB，
∴△OBA≌△OBC（AAS），
∴AB＝BC，
∴＝．

（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．

∵OA⊥OB，
∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，
∴四边形DMON是矩形，
∴DN＝OM＝a，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠A＝∠ABO＝45°，
∵OC＝OB，CD＝CB，
∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，
∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，
∴3∠C+90°＝180°，
∴∠C＝30°，
∴∠CDB＝∠CBD＝75°，
∵∠DMB＝90°，
∴∠MDB＝∠DBM＝45°，
∴DM＝BM，∠ODM＝30°，
∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，
∴＝＝．

（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，

∵CD＝CB，
∴∠CDB＝∠CBD，[来源:学科网]
∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，
∵∠A＝∠ABO，
∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，
∵AOD＝∠COE，
∴∠C＝∠COE＝∠CBO，
∵∠C＝∠C，
∴△OCE∽△BCO，
∴＝，
∴＝，
∴EC2+2EC﹣4＝0，
解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），
∴BC＝+1．
如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，

∴EO＝EB＝EC＝OB＝，
∴BC＝2，
∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，
∴OE≠OB，
综上所述，BC的值为+1或2．
8、如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
（2）若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数；
（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长．

解：∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；

（2）如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵的长为π，
∴，
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，
∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，
∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，
∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，

（3）①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，
∴PF＝PC，
同（2）的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝，
∴CD＝13，
∵△PCD的周长为24+13，
∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝＝5，
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．

9、如图，已知AB是⊙O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于⊙O点E，连接AE、BE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，∠ABC＝30°．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝6，CD＝3，则DE的长为　9　；
（3）当点D在弦AB上运动时，的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

（1）证明：如图1中，连接AC，OC，OA．

∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵＝，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD＝∠OAC＝30°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF是⊙O的切线．

（2）解：∵＝，
∴∠CBD＝∠BEC，
∵∠BCD＝∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝12，
∴DE＝EC﹣CD＝12﹣3＝9．
故答案为9．

（3）解：结论：＝，的值不变．
理由：如图2中，连接AC，OC，OC交AB于H，作AN∥EC交BE的延长线于N．

∵＝，
∴OC⊥AB，CB＝CA，
∴BH＝AH＝AB，
∵∠ABC＝30°，
∴BH＝BC，
∴AC＝AB，
∵CE∥AN，
∴∠N＝∠CEB＝30°，∠EAN＝∠AEC＝∠ABC＝30°，
∴∠CEA＝∠ABC＝30°，∠EAN＝∠N，
∴∠N＝∠AEC，AE＝EN，
∵∠ACE＝∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴＝＝，
∴＝，
∴的值不变．
10、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，过点A作AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC、AB的延长线于点E、F，DG⊥AB于点G，连接BD．
（1）求证：△AED∽△DGB；
（2）求证：EF是⊙O的切线；
（3）若，OA＝4，求劣弧的长度（结果保留π）．

（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵BC∥EF，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠DAB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∵DG⊥AB，
∴∠BGD＝∠AED＝90°，
∴△AED∽△DGB；
（2）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DOF＝∠OAD+∠ADO＝2∠DAF，
∵∠EAF＝2∠DAF，
∴∠EAF＝∠DOF，
∴AE∥OD，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线；
（3）解：∵∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠DAF+∠ADE＝90°，
∵∠BDF+∠ADE＝90°，
∴∠DAF＝∠BDF，
∴△ADF∽△DBF，
∴＝＝＝，
∵AD2+BD2＝AB2＝64，
∴AD2+（AD）2＝64，
∴AD＝4，
∴BD＝4，
∴tan∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∴＝＝．

11、如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．

（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；
（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；
（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．
解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．

∵F是中点，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如图2，联结BF．

∵AF⊥OC，垂足为点＝D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，[来源:Z*xx*k.Com]
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．
②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．

∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即线段OD的长为．
12、如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．
（1）求证：AD平分∠BAC．
（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．

解：（1）如图，连结OD，
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，[来源:学_科_网]
∵∠C＝90°，
∴∠C＝∠ODB＝90°，
∴OD∥AC．
∴∠CAD＝∠ODA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）如图，连结OF，
∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，
∴12﹣3＝9，
∴∠EOF＝100°，
∴的长为．

13、如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．
（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；
（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．

解：（1）连接OQ，如图①所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，
∴＝，∠EBC＝∠ABC＝60°，
∵点Q是的中点，
∴＝，
∴+＝+，
即＝，
∴∠BOQ＝∠EOQ，
∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，
∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．
∵BO＝OQ，
∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，
∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；
（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图②所示：
∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8，
∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，
∴∠FEB＝∠FED＝60°，
∵EM＝HE，
∴△HEM是等边三角形，
∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，
∴∠BCD＝∠HMB＝120°，
∵∠EBC＝∠GBH＝60°，
∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，
即∠GBC＝∠HBE，
∴△BCG∽△BMH，
∴．
又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，
∴，
∴y与x的函数关系式为（0＜x＜4）．
（3）如图③，当点G在边CD上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，
①当．
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即：，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
②当．即：，
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．
如图④，当点G在CD的延长线上时．
由于△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，
①当．
∵AF＝ED，
∴FH＝DG，
∴CG＝EH，
即：，
解分式方程得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．
②当．即：，
解分式方程得：x＝12．
经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．
综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．