专题11 圆中的线段乘积问题-2021-2022学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题11 几何证明之圆中的线段乘积问题

1、如图，在ABC中，AB＝BC，以BC为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，

①求证：ED是⊙O的切线；

②求证：DE2＝BF•AE；

③若DF＝3，cosA＝，求⊙O的直径．[来源:学科网]

2、如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，弦CD＝AC，E为CB延长线上一点，DE切⊙O于点D．

（1）求证：CD平分∠ADE；

（2）求证：DE2＝EB•CE；

（3）若tan∠CAB＝，且AB＝5，求DE．[来源:学。科。网]

3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）求证：AD2＝AB•AF；

（3）若BE＝8，sinB＝，求AD的长，

4、如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．

（1）求证：直线EC为圆O的切线；

（2）设BE与圆O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，

①求证：PC2＝PF•PA

②若PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF的值．

5、如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为（﹣2，0），CD＝8．

[来源:Z|xx|k.Com]

（1）求⊙M的半径；

（2）动点P在⊙M的圆周上运动．

①如图1，当EP平分∠AEB时，求PN•EP的值；

②如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由．

6、如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD，交⊙O于点D．连接CD交AB于点E，延长BD和CA相交于点P，过点A作AG∥CD交BP于点G．

（1）求证：直线GA是⊙O的切线；[来源:学科网]

（2）求证：AC2＝GD•BD；

（3）若tan∠AGB＝，PG＝6，求cos∠P的值．

7、如图，AB是圆O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交圆O于点F，且CE＝CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；

（3）如果OA＝3，求AE•AB的值．

8、如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O，交BC于点D，且BD＝CD，交直线AC于点E，连接BE．

（1）如图1，求证：∠CAB＝2∠CBE；

（2）如图2，过D作DF⊥AB于F，求证：BE＝2DF；

（3）如图3，在（2）的条件下，在∠BDF的内部作∠BDM，使∠BDM＝∠ABE，DM分别交AB、BE于点N、G，交⊙O于点M，若DF＝BN＝2，求MG的长．

[来源:Z,xx,k.Com]

9、如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连结AD并延长，与过C点的直线交于P，OD与BC相交于点E．

（1）求证：OE＝AC；

（2）连接CD，若∠PCD＝∠PAC，试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

10、如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在对角线BD上，△ABE的外接圆交BC于点F．连接AF交BD于点G．

（l）求证：AF＝AE；

（2）若FH是该圆的切线，交线段CD于点H，且FH＝FG，求BF的长．