第17章 相似三角形-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第17章 相似三角形

考 点 梳 理

考点一 比例线段及其性质
1. 比例线段
在四条线段中，如果其中两条线段的比 另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例的性质
(1)基本性质：若＝⇔ (b≠0，d≠0)．
(2)合比性质：若＝⇔＝ (b≠0，d≠0)．
(3)等比性质：若＝＝…＝(b·d·…·n≠0)，那么＝ ．
3．平行线分线段成比例
(1)平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也 ．
(2)基本事实：两条线段被一组 所截，所得的对应线段成比例．
(3)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边或(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
4．黄金分割
如图，若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，且使AC是BC和AB的 ，即AC2＝AB·BC，则称线段AB被点C黄金分割，点C为黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即＝≈0.618.

【点拨】列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.

考点二 相似三角形的概念、性质与判定
1．相似三角形及相关概念
(1)形状完全相同的图形称为相似形．
(2)对应角 ，对应边 的三角形叫做相似三角形．
(3)如果△ABC和△A′B′C′相似，且＝＝＝k，那么这个比值k就叫做这两个相似三角形的 ．
2．相似三角形的判定
(1)一般三角形
①平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形相似．
②两组角对应 ，两三角形相似．
③两边对应成比例且 相等，两三角形相似．
④三边对应成比例，两三角形相似．
(2)直角三角形
①一组锐角对应 ，两三角形相似．
②两直角边对应成比例，两三角形相似．
③斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似．
3．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角 ．
(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例，且 相似比．
(3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 .

考点三 相似多边形
1．概念：各角对应相等，各边对应 的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．判定：依据性质进行判定.
3．性质：
(1)相似多边形的对应角 ，对应边 .
(2)相似多边形的周长比等于 ，面积比等于 ．







重 难 点 讲 解

考点一 平行线分线段成比例定理
方法指导：
应用平行线分线段成比例定理解决问题的方法：(1)若已知条件中有平行，求两条线段的比，常考虑应用平行线分线段成比例性质求解；(2)应用时，看清平行线，找准平行线截得的对应线段和对应边．
经典例题1 (2020•安徽模拟)如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝1：2，那么下列结论正确的是(　　)

A．AC：AE＝1：3 B．CE：EA＝1：3
C．CD：EF＝1：2 D．AB：CD＝1：2
【解析】 ∵AB∥CD∥EF，∴AC：CE＝BD：DF＝1：2，即CE＝2AC，∴AC：CE＝1：3，CE：EA＝2：3．
【答案】 A

考点二 相似三角形的判定和性质
方法指导：
判定三角形相似的思路及几种常见类型：
1. 有平行截线——用平行线的性质，找等角.
2. 有一对等角，找(1)另一对等角；(2)该角的两边对应成比例.
3. 有两边对应成比例，找(1)夹角相等；(2)第三边也对应成比例；(3)有一对直角.
4. 直角三角形，找(1)一对锐角相等；(2)两对边对应成比例.
5. 等腰三角形，找(1)顶角相等；(2)一对底角相等；(3)底和腰对应成比例.
利用相似三角形的判定方法得出两个三角形相似后，可以推得成比例线段，求出未知线段的长度；利用对应角相等得出未知角的度数；也可以利用周长比、面积比的关系求图形的周长、面积等．
经典例题2 (2020•江西模拟)如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，若EF：AF＝2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为(　　)

A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35
【解析】 ∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝，∴＝()2＝，＝＝，设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S，∴S△ABD＝S△ADF＋S△ABF＝S＋S＝S，∵四边形ABCD为平行四边形，∴S△ABD＝S△DBC＝S，∴S四边形EFBC＝S△BDC－S△DEF＝S－S＝S，∴S△DEF：S四边形EFBC＝4：31．
【答案】 C










过 关 演 练

1．(2020·江苏徐州模拟)若＝＝，则的值是(　　)
A．　　　　　　　B．－ C．7 D．－7
2．(2020·安徽安庆二模)如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB＝1，BC＝3，DE＝1.2，则DF的长为(　　)

A．3.6 B．4.8 C．5 D．5.2
3. (2020•河南模拟)如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AE平分∠BAD，交BC于F，交DC延长线于E，则的值为(　　)

A． B． C． D．2
4. (2020•安徽安庆模拟)下列说法正确的是(　　)
A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似
C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似
5. (2020•铜陵模拟)若两个相似五边形的相似比为3：5，则它们的面积比为(　　)
A．3：5 B．5：3 C．9：25 D．25：9
6. (2020•广西河池模拟)如图，在▱ABCD中，R为BC延长线上的点，连接AR交BD于点P，若CR：AD＝2：3，则AP：PR的值为(　　)

A．3：5 B．2：3 C．3：4 D．3：2
7．(2020·上海二模)如图，已知△ABC中，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE，BC于点F，G，那么的值为(　　)

A. B． C. D．
8．(2020•甘肃金昌中考)生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为(　　)

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
9．(2020•四川成都中考)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为(　　)

A．2 B．3 C．4 D．
10．(2020•贵州铜仁中考)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．5
11．(2020•四川遂宁中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为(　　)

A． B． C． D．
12．(2020·安徽模拟)如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②AP⊥CD；③AC2＝CP·CM.其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
13．(2020•湖南娄底中考)若＝＝(a≠c)，则＝　 　．
14．(2020•江苏无锡中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．

15．(2020•江苏盐城中考)如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB＋DE＝10．则的值为　 　．

16．(2020•山东威海中考)如图，点C在∠AOB的内部，∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补．若AC＝1.5，BC＝2，则OC＝　 　．

17．(2020•浙江湖州中考)在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　 　．

18．(2020·河北三模)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4，则△CEF的周长为 ．

19．(2020·安徽一模)《孙子算经》有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸．问竿长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸．请你算一算竹竿的长度是多少？(丈和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)






20．(2020•内蒙古通辽中考)如图，⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P，且PC2＝PB•PA，求证：AB⊥CD．






21．(2020·江西模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，D为BC上一点，DE⊥AC于点E.
(1)求证：△ADC∽△BEC；
(2)若点D为BC的中点，AB＝4，求BE的长．








22．(2020·青海二模)如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE.
(1)求证：△ABE≌△ADE；
(2)求证：EB2＝EF·EG；
(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE∶EC＝1∶3，求BG的长．











23．(2020·云南二模)如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE.点M，N分别是BD，CE的中点，连接AM，AN，MN.
(1)求证：△CAE≌△BAD；
(2)求证：△AMN∽△ABC；
(3)若AC＝6，AE＝4，∠EAC＝60°，求AN的长．












参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. 等于 2. (1)ad＝bc (2) (3) 3. (1)相等 (2)平行线 4. 比例中项
考点二 1. (2)相等 成比例 (3)相似比 2. (1)②相等 ③夹角 (2)①相等 3. (1)相等 (2)等于 (3)相似比 相似比的平方
考点三 1. 成比例 3. (1)相等 成比例 (2)相似比 相似比的平方

过关演练
1. B 【解析】设＝＝＝k，则得a＝2k，b＝3k，c＝4k，把a＝2k，b＝3k，c＝4k代入＝＝－.
2. B 【解析】∵AD∥BE∥CF，∴＝，即＝，∴EF＝3.6，∴DF＝EF＋DE＝3.6＋1.2＝4.8.
3. B 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DE，AD∥BC，∴∠BAE＝∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠BAE，∴∠E＝∠EAD，∴AD＝DE＝5，∴CE＝DE－CD＝5－3＝2，∵BC∥AD，∴＝＝，∴＝．
4. C 【解析】∵相似多边形的对应边成比例，对应角相等，∴所有正方形都是相似多边形．
5. C 【解析】∵两个相似五边形的相似比为3：5，∴它们的面积比为：9：25．
6. A 【解析】∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，∴△ADP∽△RBP，∴＝，∴＝．∵CR：AD＝2：3，∴CR＝AD，∴＝＝．
7. C 【解析】∵AG平分∠BAC，∴∠DAF＝∠CAG，∵∠ADF＝∠C，∴△ADF∽△ACG，∴＝，∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝3，∴＝.
8. A 【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴≈0.618，∵b为2米，∴a约为1.24米．
9. D 【解析】∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴＝，∴DE＝．
10. A 【解析】∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴＝2，即＝2，解得EA＝3．
11. C 【解析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD＋DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴＝＝＝．
12. A 【解析】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝AB，AD＝AE，∠BAC＝∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠PEM＝∠ADM，∵∠EMP＝∠DMA，∴△PME∽△AMD，∴＝，又∠AMP＝∠DME，∴△AMP∽△DME，∴∠APM＝∠DEM＝90°，即AP⊥CD，②正确；∵∠CAM＝90°，AP⊥CD，∴AC2＝CP·CM，③正确．
13. 【解析】∵＝＝(a≠c)，∴＝．
14. 【解析】如图，过点D作DF∥AE，则＝＝，∵＝，∴DF＝2EC，∴DO＝2OC，∴DO＝DC，∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，∴S△ABO＝S△ABC，∵∠ACB＝90°，∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为×4×2＝4，此时△ABO的面积最大为×4＝．

15. 2 【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴AB•DE＝16，∵AB＋DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴＝＝＝2．
16. 【解析】∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，∴△ACO∽△OCB，∴＝，∴OC2＝2×＝3，∴OC＝．
17. 5 【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB＝，AC：BC＝1：2，∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE＝，EF＝2，DF＝5的三角形，∵＝＝＝，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，∴此时△DEF的面积为×2÷2＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为5．

18. 8 【解析】∵在▱ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF＝∠DAF，∵AB∥DF，∴∠BAF＝∠F，∴∠F＝∠DAF，∴△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9.∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC＝CE.∴EC＝FC＝9－6＝3，∴AB＝BE.∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝4，∴△ABE的周长等于16，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1∶2，∴△CEF的周长为8.
19. 解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长＝一丈五尺＝15尺，标杆长＝一尺五寸＝1.5尺，影长五寸＝0.5尺，∴＝，解得x＝45．　答：竹竿的长度是45尺．
20. 证明：如图，连接AC，BC，∵∠A＝∠D，∠C＝∠B，∴△APC∽△BPD，∴PC：PB＝PA：PD，∴PC•PD＝PA•PB，∵PC2＝PB•PA，∴PC＝PD，∵AB为直径，∴AB⊥CD．

21. (1)证明：∵在四边形ABDE中，∠ABD＋∠AED＝180°，∴∠BAE＋∠BDE＝180°，∴点A，B，D，E四点共圆，∴∠DAE＝∠DBE.又∠C＝∠C，∴△ADC∽△BEC.　
(2)解：∵AB＝4，∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴BC＝4.∵D为BC中点，∴BD＝DC＝2.在Rt△ABD中，AD＝＝2.在Rt△CDE中，∠C＝30°，CD＝2，∴CE＝3.∵△ADC∽△BEC，∴＝，即＝，解得BE＝.∴BE长为.
22. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．　
(2)证明：∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴＝，∴ED2＝EF·EG，∴EB2＝EF·EG.　
(3)解：∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4.连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE∶EC＝1∶3，∴AE＝OE＝1.∴BE＝＝.∵AD∥BC，∴＝＝，∴EF＝BE＝.由(2)得EB2＝EF·EG，∴EG＝＝3，∴BG＝BE＋EG＝4.
23. (1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE，∴∠EAC＝∠DAB，在△CAE与△BAD中， ∴△CAE≌△BAD(SAS)．　
(2)证明：由(1)得△CAE≌△BAD，∴∠ACE＝∠ABD，CE＝BD，∵M，N分别是BD，CE的中点，∴CN＝BM，在△CAN与△BAM中， ∴△CAN≌△BAM(SAS)，∴AN＝AM，∠CAN＝∠BAM，
∴∠CAN＋∠BAN＝∠BAM＋∠BAN，即∠CAB＝∠NAM，∵AC＝AB，AN＝AM，∴＝，∴AMN∽△ABC.　
(3)解：取AC的中点F，连接FN，过点N作NG⊥AC于点G，∵点N是CE的中点，∴NF∥AE，NF＝AE＝2，∴∠GFN＝∠EAC＝60°，∴∠FNG＝30°，∴FG＝FN＝1，∴AG＝1＋3＝4，NG＝＝，在Rt△ANG中，根据勾股定理可知：AN＝.