第20章 特殊平行四边形-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第20章 特殊平行四边形-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共18页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第20章 特殊平行四边形

考 点 梳 理

考点一 矩形
概念
有一个角是 的平行四边形叫做矩形．
性质
矩形的四个角都是 ；
矩形的对角线 ；
矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
矩形具有平行四边形的所有性质．
判定
有一个角是直角的 叫做矩形；
对角线 的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的 是矩形．
面积
S＝ (a，b分别表示矩形的长和宽)．

考点二 菱形
概念
有一组邻边 的平行四边形是菱形．
性质
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形是轴对称图形，也是 图形；
菱形具有平行四边形的所有性质．
判定
一组邻边 的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的 是菱形；
四条边都相等的 是菱形．
面积
设一个菱形的面积为S，两条对角线的长分别为a和b，则S＝ ．

考点三 正方形
概念
有一组邻边相等且一个角是直角的 叫做正方形．
性质
两组对边分别平行，四条边都 ，相邻两边互相 ；
四个角都是 ；
对角线互相垂直，对角线相等且 ；
既是中心对称图形，又是轴对称图形．
判定
一组 的矩形是正方形；
有一个角是直角的 是正方形；
有一组邻边相等，并且有一个角是 的平行四边形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线 的菱形是正方形；
对角线 且相等的四边形是正方形；
四条边都相等且四个角都是 的四边形是正方形．
面积
S＝a2(a表示正方形的边长)．








重 难 点 讲 解

考点一 与矩形有关的证明与计算
方法指导：
对于以矩形为背景的相关计算，要掌握以下内容：
(1)矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长；
(2)矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形；
(3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形；
(4)当已知条件中有一个角为30°时，应联想到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．
经典例题1 (2020•安徽模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．

【解析】 (1)利用等腰三角形三线合一的性质可以证得∠ADB＝90°，再根据矩形的定义即可证得四边形ADBE是矩形；(2)利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
(1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵四边形ADBE是平行四边形．∴平行四边形ADBE是矩形.
(2)解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝3，在直角△ACD中，AD＝＝4，∴S矩形ADBE＝BD•AD＝3×4＝12．

考点二 与菱形有关的证明与计算
方法指导：
菱形有关的计算，一般有以下三种设问：求角度；求长度(线段或者周长)；求面积．
(1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的相关性质，转化要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；
(2)求长度(线段或者周长)时，应注意使用等腰三角形的性质；若菱形中存在一个顶角为60°，则连接另外两点的对角线所分割的两个三角形为等边三角形，在计算时可借助等边三角形的性质进行求解；连接对角线构成直角三角形，则应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行求解；
(3)求面积时，可直接利用S＝底×高来求解，也可用菱形的两条对角线互相垂直，即面积等于对角线之积的一半来进行求解．
经典例题2 (2020•辽宁营口一模)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝6，CD＝8，E，F分别是边AB，CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论：①∠CDH＝30°；②EF＝4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC＝3S△BEC．你认为结论正确的有 ．(填正确的序号)

【解析】 ∵AD∥BC，AB⊥BC，DH⊥BC，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝2，AB＝DH，∴CH＝BC－BH＝6－2＝4，∵CD＝8，∴CH＝CD，∴∠CDH＝30°；①正确；∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴CF＝CD＝4，EF∥BC，EF＝(AD＋BC)＝4，②正确；∵EF∥BC，EF＝CH＝4，∴四边形EFCH是平行四边形，又∵EF＝CF＝4，∴四边形EFCH是菱形；③正确；∵EF＝4，BH＝2，∴S△EFC＝2S△BEH．④错误．
【答案】 ①②③

考点三 与正方形有关的证明与计算
方法指导：
对于正方形性质的有关计算问题，应注意合理运用其性质及由性质得到的一些结论：
(1)四边相等，四角相等且均为90°；
(2)对角线垂直平分且相等；
(3)对角线平分一组对角得到45°角；
(4)边长与对角线的长度比为1∶.
经典例题3 (2020•海南模拟)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED的度数是(　　)

A．60° B．65° C．70° D．75°
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°．又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴∠ADE＝∠ABE＝90°－25°＝65°．∴∠AED＝180°－45°－65°＝70°．
【答案】 C



过 关 演 练

1．(2020•湖北十堰中考)已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
2．(2020·江苏无锡模拟)如图，矩形ABCD和矩形BDEF，点A在EF边上，设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为(　　)

A．S1＝S2　　　　　 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
3．(2020·甘肃一模)如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是(　　)

A．35° B．30° C．25° D．20°
4．(2020·安徽合肥巢湖市模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线BD＝24，若过点C作CE⊥AB，垂足为点E，则CE的长为(　　)

A. B．10 C．12 D．
5．(2020·江西模拟)如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF＝25°，则∠AED的度数是(　　)

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．(2020•贵州毕节中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是(　　)

A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
7．(2020•四川甘孜州中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为(　　)

A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2020•贵州安顺中考)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(　　)
A．5 B．20 C．24 D．32
9．(2020•黑龙江伊春中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为(　　)

A．72 B．24 C．48 D．96
10．(2020•浙江台州中考)下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是(　　)
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
11. (2020•安徽合肥模拟)如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝4，P为AC中点，点D在直线BC上运动，以AD为边，向AD的右侧作正方形ADEF，连接PF，则在点D的运动过程中，线段PF的最小值为(　　)

A．2 B． C．1 D．2
12．(2020·四川达州模拟)如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和1cm/s，则最快 s后，四边ABPQ成为矩形．

13．(2020·重庆模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝ 时，平行四边形CDEB为菱形．

14. (2020•青海模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是AB上的一个动点，过点P作PM⊥AC于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．

15．(2020·湖北武汉模拟)如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC＝6，BD＝5，则点D的坐标是 ．

16．(2020•江苏无锡中考)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．

17．(2020•山东青岛中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　 　．

18．(2020•山东聊城中考)如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．






19．(2020•湖南长沙模拟)如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F．
(1)求证：AE＝BF；
(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．




20．(2020•四川自贡中考)如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．




21．(2020·吉林模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
(1)求证：△AEH≌△CGF.
(2)若∠EFG＝90°.求证：四边形EFGH是正方形．





22．(2020·河南二模)如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．








23．(2020·湖南郴州模拟)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A(0，2)和C(2，0)．点D是对角线AC上一动点(不与A，C重合)，连接BD，作DE⊥DB.交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF.

图1 图2
(1)填空：点B的坐标为 ．
(2)是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由．






24. (2020•上海一模)如图，AM∥BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D，DE⊥BD，交BN于点E．
(1)求证：△ADO≌△CBO．
(2)求证：四边形ABCD是菱形．
(3)若DE＝AB＝2，求菱形ABCD的面积．









参 考 答 案

考点梳理
考点一 直角 直角 相等且互相平分 平行四边形 相等 四边形 ab
考点二 相等 互相垂直平分 中心对称 相等 平行四边形 四边形 ab
考点三 平行四边形 相等 垂直 90°(或直角) 互相平分 邻边相等 菱形 直角 相等 互相垂直平分 直角

过关演练
1. B 【解析】AB＝BC，邻边相等的平行四边形是菱形，故选项A错误；AC＝BD，对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B正确；AC⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；AC平分∠BAD，对角线平分其每一组对角的平行四边形是菱形，故选项D错误．
2. A 【解析】 ∵矩形ABCD的面积S1＝2S△ABD，S△ABD＝S矩形BDEF，∴S1＝S2.
3. C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°.∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE＝BE＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°.∴∠OED＝90°－65°＝25°.
4. A 【解析】连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝12，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OA＝＝＝5，∴AC＝10，∵S菱形ABCD＝AB·CE＝AC·BD，
即13×CE＝×10×24，解得CE＝.
5. C 【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BA＝DA，∠BAE＝∠DAE＝45°.又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)．∴∠ADE＝∠ABE＝90°－25°＝65°.∴∠AED＝180°－45°－65°＝70°.
6. D 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：AC＝＝＝10(cm)，∴BD＝10cm，DO＝5cm，∵点E，F分别是AO，AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，∴EF＝OD＝2.5cm．
7. B 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∵菱形ABCD的周长为32，∴AB＝8，∵E为AB边中点，∴OE＝AB＝4．
8. B 【解析】如图所示，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AB＝BC＝CD＝AD，OA＝AC＝4，OB＝BD＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝＝5，∴此菱形的周长＝4×5＝20．

9. C 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×12×8＝48．
10. A 【解析】对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B，C，D错误．
11. B 【解析】连接CF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC＝4，P为AC中点，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AP＝PC＝2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，且AB＝AC，AD＝AF，∴△ABD≌△ACF(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF＝45°，∴∠BCF＝∠ACB＋∠ACF＝90°，∴CF⊥BC，∴点F在过点C且垂直BC的直线上，∴当PF⊥CF时，PF的值最小，∴PF的最小值＝＝．
12. 5 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝20cm，设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，∵四边形ABPQ是矩形，∴AQ＝BP，∴3x＝20－x，∴x＝5.
13. 【解析】连接CE交AB于点O.∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，若平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB.∵AB·OC＝AC·BC，∴OC＝.∴OB＝＝，∴AD＝AB－2OB＝.
14. 2.4 【解析】连接CP．∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形CNPM是矩形，∴MN＝CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AC＝AB•CP，即×4×3＝×5•CP，解得CP＝2.4．
15. (10，3) 【解析】过点D作DG⊥BC于点G，∵四边形BDCE是菱形，∴BD＝CD，∴BG＝CG＝BC＝3，∵BD＝5，∴DG＝＝4，∵四边形ABCO是正方形，∴OC＝BC＝6，∴D(10，3)．
16. 115 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BCD，AB∥CD，∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACE＝∠BCD＝65°，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝65°，∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°．
17. 【解析】如图，∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∴AO＝DO，∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°，∵点F是AE的中点，∴DF＝AF＝EF＝AE，∴OF垂直平分AD，∴AG＝DG，∴FG＝DE＝1，∵OF＝2，∴OG＝2，∵AO＝CO，∴CD＝2OG＝4，∴AD＝CD＝4，过A作AH⊥DF于H，∴∠H＝∠ADE＝90°，∵AF＝DF，∴∠ADF＝∠DAE，∴△ADH∽△AED，∴＝，∴AE＝＝＝2，∴＝，∴AH＝，即点A到DF的距离为．

18. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，∵E为BC的中点，∴EB＝EC，∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AB＝CF．∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵BC＝AF，∴四边形ABFC是矩形．
19. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∴∠A＝∠CBF，∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△AEB≌△BFC(AAS)，∴AE＝BF.
(2)解：∵E是AD中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2.
20. 证明：在正方形ABCD中，AB＝CD＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB与△BFC中， ∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF．
21. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.在△AEH与△CGF中， ∴△AEH≌△CGF(SAS)．　
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF.∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝HG.又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF.∴四边形HEFG为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形．
22. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D＝90°，∠BAC＝∠DCA.由翻折的性质可知：∠EAB＝∠BAC，∠DCF＝∠DCA.∴∠EAB＝∠DCF.在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴DF＝BE.∴AF＝EC.又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形．　
(2)解：当∠BAE＝30°时，四边形AECF是菱形，理由：由折叠可知，∠BAE＝∠CAE＝30°，又∵∠B＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°，即∠CAE＝∠ACE，∴EA＝EC，∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形．
23. 解：(1)(2，2) 提示：∵四边形AOCB是矩形，∴BC＝OA＝2，OC＝AB＝2，∠BCO＝∠BAO＝90°，∴B(2，2)．
(2)存在．理由如下：∵OA＝2，OC＝2，∴∠ACO＝30°，∠ACB＝60°，①如题图1中，当E在线段CO上时，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED＝EC，∴∠DCE＝∠EDC＝30°，∴∠BDC＝∠BCD＝60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC＝BC＝2，在Rt△AOC中，∵∠ACO＝30°，OA＝2，∴AC＝2AO＝4，∴AD＝AC－CD＝4－2＝2.∴当AD＝2时，△DEC是等腰三角形．②如题图2中，当E在OC的延长线上时，△DCE是等腰三角形，只有CD＝CE，又由四边形BDEF为矩形，B，D，E，F四点共圆，得∠DBC＝∠DEC＝∠CDE＝15°，∴∠ABD＝∠ADB＝75°，∴AB＝AD＝2，综上所述，满足条件的AD的长度为2或2.
24. 证明：(1)∵点O是AC的中点，∴AO＝CO，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，在△AOD和△COB中， ∴△ADO≌△CBO(ASA).
(2)由(1)得△ADO≌△CBO，∴AD＝CB，又∵AM∥BN，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABN，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB，∴平行四边形ABCD是菱形.
(3)解：由(2)得四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AD＝CB，又DE⊥BD，∴AC∥DE，∵AM∥BN，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE＝2，AD＝EC，∴EC＝CB，∵四边形ABCD是菱形，∴EC＝CB＝AB＝2，∴EB＝4，在Rt△DEB中，由勾股定理得BD＝＝＝2，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×2×2＝2．