第15章 三角形及其全等-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第15章 三角形及其全等-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共19页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第14章 三角形及其全等

考 点 梳 理

考点一 三角形的有关概念及性质
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条 首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形．
2．三角形的分类
(1)按边分
①一般三角形：三条边都不相等；
②等腰三角形：有两条边相等；
③等边三角形：三条边都 .
(2)按角分
①锐角三角形：三个角都是锐角；
②直角三角形：有一个角为 ；
③钝角三角形：有一个角为钝角.
3. 三角形的边角关系
(1)边的关系：两边之和 第三边，两边之差 第三边．
(2)角的关系
①三角形内角和等于 ；
②任意一个外角 与它不相邻的两个内角之和；
③任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
(3)边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对 ，大边对 ．
(4)三角形具有稳定性，即当三角形的三边确定时，三角形的形状和大小也就随之确定，而不再发生改变．
【点拨】判断三条边(a，b，c，a≤b≤c)能否构成三角形，只需比较两条短边(a，b)的和与第三边(c)的大小，若a＋b>c，则能构成三角形；反之不能构成三角形．
4. 三角形中的重要线段
(1)角平分线
①概念：一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段．
②图形及性质：如图1，在△ABC中，AD为角平分线，则有∠1＝ ＝∠BAC.
③内心(三角形内切圆的圆心)：三角形的三条角平分线交于一点，该点称为三角形的内心，该点到三角形三边的距离相等．

图1 图2
(2)中线
①概念：连接一个顶点与它对边中点的线段．
②图形及性质：如图2，在△ABC中，AD为BC边上的中线，则有BD＝ ＝BC.
③重心：三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，该点到三角形顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．
【点拨】中线等分三角形面积．
(3)高线
①概念：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
②图形及性质：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的高线，则有AD⊥ ，即∠ADB＝∠ADC＝90°.
③垂心：三角形的三条高线的交点，该点称为三角形的垂心．

图3 图4
知识延伸：外心(三角形外接圆的圆心)：三角形三条边中垂线的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等．
(4)三角形的中位线
①概念：连接三角形两边中点的线段．
②图形及性质：如图4，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，则DE为△ABC中位线，DE∥ 且DE＝BC.
【点拨】当在三角形中遇到中点时，常构造三角形中位线，进一步利用线段平行或倍分问题，可简单地概括为“已知中点找中位线”；在平行四边形或菱形中，边上有中点时，常连接中点与对角线的交点构造中位线．

考点二 全等三角形的性质及判定
1．全等三角形的概念
能够 的两个三角形叫的全等三角形．
2．全等三角形的性质
(1)全等三角形的对应角 、对应边 、周长相等、面积相等；
(2)全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线都分别 ．
3．全等三角形的判定
判定
判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)
判定2：两边和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)
判定
判定3：两角和它们的 分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)
判定4：两角和其中一个角的对边分别 的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)
判定5：斜边和一条直角边分别 的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)






重 难 点 讲 解

考点一 三角形的三边关系
方法指导：
三角形的三条边之间主要有这样的关系：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边.利用这两个关系可以解决确定三角形某一边的取值范围问题和判定三条线段能否组成三角形问题．
经典例题1 (2020•陕西模拟)已知三角形的两边长分别为3cm和9cm，则此三角形的第三边长可能是(　　)
A．3cm B．6cm C．9cm D．13cm
【解析】 设第三边的长度为xcm，由题意得：9－3＜x＜9＋3，即：6＜x＜12，只有选项C在范围内．
【答案】 C

考点二 三角形的内角和及外角性质
方法指导：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；三角形的外角和是360°，利用三角形的外角性质可以解决求角的度数问题．
经典例题2 (2020•安徽宿州模拟)如图，一副分别含有60°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C＝90°，∠BAC＝45°，∠EDC＝60°，则∠BFD的度数是(　　)

A．15° B．25° C．30° D．10°
【解析】 ∵Rt△CDE中，∠C＝90°，∠EDC＝60°，∴∠BDF＝180°－60°＝120°，∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，∴∠B＝45°，∴∠BFD＝180°－45°－120°＝15°．
【答案】 A

考点三 三角形“三线”的性质
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角；由三角形的中线可得线段之间的关系；由三角形的角平分线可得角之间的关系，可利用角平分线的性质和三角形的内角与外角的关系建立所求角度与已知条件的联系，达到解题的目的．
经典例题3 (2020•河北模拟)如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是(　　)

A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【解析】 ∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，选项A说法正确，不符合题意；∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C＋∠CAD＝90°，选项B说法正确，不符合题意；∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，选项C说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，选项D说法正确，不符合题意．
【答案】 C

考点四 全等三角形性质与判定
全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等.全等三角形的性质是证明线段和角相等的重要方法.解题时，要结合图形或表达式中的字母的对应位置，灵活找到对应边或对应角.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当的辅助线构造三角形.
经典例题4 (2020•江苏徐州模拟)如图，在△ABC和△DEB中，点C在BD边上，AC与BE交于F．若AB＝DE，BC＝BE，AC＝BD，则∠ACB等于(　　)

A．∠D B．∠E C．2∠ABF D．∠AFB
【解析】 在△ABC与△DEB中， ∴△ABC≌△DEB(SSS)，∴∠ACB＝∠EBD．∵∠AFB是△BFC的外角，∴∠AFB＝∠ACB＋∠EBD，∴∠AFB＝2∠ACB，即∠AFB＝∠ACB．
【答案】 D
















过 关 演 练

1. (2020•安徽亳州模拟)下列说法不正确的是(　　)
A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高
C．三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条中线交于一点
2．(2020·山东青岛模拟)三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm时，则不同形状的三角形共有(　　)
A．2种　　　　　 B．3种 C．4种 D．5种
3. (2020•山西模拟)设三角形三边之长分别为3，8，2a，则a的取值范围为(　　)
A．1.5＜a＜4.5 B．2.5＜a＜5.5 C．3.5＜a＜6.5 D．4.5＜a＜7.5
4．(2020•浙江绍兴中考)长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
5．(2020•贵州铜仁中考)已知等边三角形一边上的高为2，则它的边长为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．4
6. (2020•云南模拟)如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝60°，∠D＝20°，则∠P的度数为(　　)

A．15° B．20° C．25° D．30°
7．(2020•四川自贡中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是(　　)

A．50° B．40° C．30° D．20°
8. (2020•安徽模拟)如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为(　　)

A．44° B．66° C．88° D．92°
9．(2020•浙江宁波中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为中线，延长CB至点E，使BE＝BC，连结DE，F为DE中点，连结BF．若AC＝8，BC＝6，则BF的长为(　　)

A．2 B．2.5 C．3 D．4
10．(2020•山东淄博中考)如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE
C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED
11. (2020•河南模拟)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，H，G是边BC上的点，且HG＝BC，S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．6 B．4 C．3 D．2
12．(2020·安徽合肥模拟)如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝50，S△AED＝38，则△DEF的面积为(　　)

A．6 B．12 C．4 D．8
13．(2020·吉林模拟)如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论：①DE＝BE；②点E是BC的中点；③∠AED＝90°；④AD＝AB＋CD．其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
14．(2020•山东济宁中考)已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是　 　(写出一个即可)．
15．(2020•黑龙江齐齐哈尔中考)如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A，B，E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　 　．(只填一个即可)

16．(2020•黑龙江哈尔滨中考)在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝6，CD＝1，则BC的长为　 　．
17．(2020•湖南怀化中考)如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，则∠D＝　 　°．

18．(2020·河北模拟)如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，则∠AEC的度数是 ．

19．(2020·江苏泰州模拟)如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，则AC长为 ．

20．(2020·安徽二模)如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 ．

21．(2020·安徽铜陵模拟)在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，则EF的长是 ．

22．(2020•四川泸州中考)如图，AC平分∠BAD，AB＝AD．求证：BC＝DC．


23．(2020•湖北黄石中考)如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)若∠B＝30°，求证：AD＝BC．









24．(2020·陕西模拟)如图，在等腰△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，P为△ABC内的一点，且PA＝AQ＝1，CQ＝BP＝3，CP＝，求∠APC的大小．(提示：连接PQ)









25．(2020·江西模拟)如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．
(1)求证：AE2＋AD2＝2AC2；
(2)如图2，过点C作CO垂直AB于点O并延长交DE于点F，请确定线段AE，AF，DF间的数量关系，并证明你的结论．

图1 图2








26. (2020•安徽一模)如图，在△ABC中，AB＜AC，点D，F分别为BC，AC的中点，E点在边AC上，连接DE，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为点H，且△CDE与四边形ABDE的周长相等，设AC＝b，AB＝c．
(1)求线段CE的长度；
(2)求证：DF＝EF；
(3)若S△BDH＝S△EGH，求的值．







参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. 线段 2. (1)③相等 (2)②90° 3. (1)大于 小于 (2)①180° ②等于 (3)等边 大角 4. (1)②∠2 (2)②DC (3)②BC (4)②BC
考点二 1. 完全重合 2. (1)相等 相等 (2)相等 3. 夹角 夹边 相等 相等

过关演练
1. A 【解析】三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故选项A错误；直角三角形有三条高，故选项B正确；三角形的三条角平分线交于一点，故选项C正确；三角形的三条中线交于一点，故选项D正确．
2. A 【解析】∵三角形的周长为15cm，其三边的长均为整数，当其中一条边长为3cm，∴三角形的三边可以是：3，5，7；3，6，6；共两种情况．
3. B 【解析】由题意，得8－3＜2a＜8＋3，即5＜2a＜11，解得2.5＜a＜5.5．
4. B 【解析】①长度分别为5，3，4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2，6，4，不能构成三角形；③长度分别为2，7，3，不能构成三角形；④长度分别为6，3，3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．
5. C 【解析】根据等边三角形：三线合一，设它的边长为x，可得x2＝()2＋(2)2，解得x＝4，x＝－4(舍去)．
6. B 【解析】延长AC交BD于点E，设∠ABP＝α，∵BP平分∠ABD，∴∠ABE＝2α，∴∠AED＝∠ABE＋∠A＝2α＋60°，∴∠ACD＝∠AED＋∠D＝2α＋80°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠ACD＝α＋40°，∵∠AFP＝∠ABP＋∠A＝α＋60°，∠AFP＝∠P＋∠ACP，∴α＋60°＝∠P＋α＋40°，∴∠P＝20°．
7. D 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠B＝40°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝(180°－40°)＝70°，∴∠ACD＝90°－70°＝20°．
8. D 【解析】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中， ∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK＝∠BKN，∵∠MKB＝∠MKN＋∠NKB＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝44°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．
9. B 【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10．又∵CD为中线，∴CD＝AB＝5．∵F为DE中点，BE＝BC即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝2.5．
10. B 【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确．
11. A 【解析】如图，连接DE，作AF⊥BC于F，交DE于H，DG与EH交于点O，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，AH＝FH，∴△ADE∽△ABC，AH⊥DE，∴△ADE的面积＝12×＝3，∴四边形DBCE的面积＝12－3＝9，∵HG＝BC，∴DE＝HG，∴△DOE的面积＋△HOG的面积＝DE×AH＝△ADE的面积＝3，∴图中阴影部分的面积＝9－3＝6．

12. A 【解析】过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH(HL)，∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，同理Rt△ADF≌Rt△ADH，∴S△ADF＝S△ADH，即38＋S＝50－S，解得S＝6.
13. D 【解析】作EH⊥AD于点H.∵EA平分∠BAD，EB⊥BA，EH⊥AD，∴BE＝EH，同理可证：EH＝EC，∴EB＝EC，故②正确；∵DE＞EH，EH＝BE，∴DE＞BE，故①错误；∵∠B＝∠EHA＝90°，AE＝AE，EB＝EH，∴Rt△EAB≌Rt△EAH(HL)，∴AH＝AB，∠AEB＝∠AEH，同理可证：△EDH≌△EDC(HL)，∴DH＝DC，∠DEH＝∠DEC，∴AD＝AH＋DH＝AB＋CD，∠AED＝(∠BEH＋∠CEH)＝90°，故③④正确．
14. 4(答案不唯一) 【解析】根据三角形的三边关系，得第三边应大于6－3＝3，而小于6＋3＝9，故第三边的长度3＜x＜9，这个三角形的第三边长可以4．
15. AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等) 【解析】∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．
16. 5或7 【解析】在Rt△ABD中，∠ABC＝60°，AD＝6，∴BD＝＝＝6，如图1、图2所示，BC＝BD＋CD＝6＋1＝7，BC＝BD－CD＝6－1＝5．

图1 图2
答案：130 【解析】∵在△ADC和△ABC中，，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠D＝∠B，∵∠B＝130°，∴∠D＝130°．
18. 76° 【解析】∵∠B＝42°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝34°.∵AD是高，∠C＝70°，∴∠DAC＝90°－∠C＝20°，∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝34°－20°＝14°，∠AEC＝90°－14°＝76°.
19. 7cm 【解析】∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC＝8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC＝21－6－8＝7cm.故AC长为7cm.
20. 100° 【解析】∵PA＝PB，∴∠A＝∠B，在△AMK和△BKN中，∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK＝∠BKN，∵∠A＋∠AMK＝∠MKN＋∠BKN，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠P＝180°－∠A－∠B＝180°－40°－40°＝100°.
21. 5 【解析】连接BD，∵D是AC中点，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC，AB＝BC.∵∠EDB＋∠FDB＝90°，∠FDB＋∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝FC＝3，∴AE＝BF＝4，在Rt△BEF中，EF＝＝＝5.
22. 证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，又∵AB＝AD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴BC＝CD．
23. (1)解：∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；
(2)证明：在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA(ASA)，∴AD＝BC．
24. 解：连接PQ，∵PA＝AQ＝1，CQ＝BP＝3，AC＝AB，∴△ACQ≌△ABP(SSS)，∴∠QAC＝∠PAB，∵∠PAB＋∠CAP＝∠CAB＝90°，∴∠QAC＋∠PAC＝∠QAP＝90°，且AQ＝AP＝1，∴∠APQ＝∠AQP＝45°，PQ＝＝，∵PQ2＋CP2＝2＋7＝9，CQ2＝9，∴PQ2＋CP2＝CQ2，∴∠CPQ＝90°，∴∠APC＝90°＋45°＝135°.
25. (1)证明：连接BD，∵∠ECD＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS)，∴AE＝BD，∠CDB＝∠E＝45°，又∵∠CDE＝45°，∴∠ADB＝∠CDE＋∠CDB＝90°.在Rt△ADB中，由勾股定理可知AD2＋BD2＝AB2，同理，在Rt△ACB中，AC2＋BC2＝AB2，又∵AC＝BC，BD＝AE，∴AE2＋AD2＝2AC2.　
(2)解：线段AE，AF，DF关系为AE2＋DF2＝AF2.理由如下：连接BD，BF，由(1)可知AE＝DB，∠FDB＝90°.∵CF⊥AB，AC＝BC，∴AO＝BO，∴CF为AB的垂直平方线，∴AF＝BF.在Rt△BDF中，DB2＋DF2＝BF2，∴AE2＋DF2＝AF2.
26. (1)解：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∵△CDE与四边形ABDE的周长相等，∴CD＋DE＋CE＝AB＋BD＋DE＋AE，∴CE＝AB＋AE＝AB＋(AC－EC)，∴2CE＝AC＋AB＝b＋c，∴CE＝(b＋c).
(2)证明：∵点D，F分别为BC，AC的中点，∴DF是△CAB的中位线，∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，由(1)知：CE＝(b＋c)，∴AE＝b－CE＝b－(b＋c)＝(b－c)，∴EF＝AF－AE＝b－(b－c)＝c，∴DF＝EF.
(3)解：连接BE，DG，如图所示，∵S△BDH＝S△EGH，∴S△BDG＝S△DEG，∴BE∥DG，∵DF是△CAB的中位线，∴DF∥AB，＝，∴△ABE∽△FDG，∴＝＝，∴FG＝AE＝×(b－c)＝(b－c)，过点A作AP⊥BG于P，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC，∵∠DFC＝∠DEF＋∠EDF，EF＝DF，∴∠DEF＝∠EDF，∴∠BAP＋∠PAC＝2∠DEF，∵ED⊥BG，AP⊥BG，∴DE∥AP，∴∠PAC＝∠DEF，∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，∵AP⊥BG，∴AB＝AG＝c，∴CG＝b－c，∴CF＝b＝FG＋CG＝(b－c)＋(b－c)，∴3b＝5c，∴＝．