第02章 整式与因式分解-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第2章 整式与因式分解

考 点 梳 理

考点一 列代数式及求值
1．代数式的概念
用加、减、乘、除、乘方、开方等 把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式．
2．列代数式
把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．
3．代数式的求值
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做求代数式的值.
【点拨】代数式求值的一般方法：(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值．(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法；③把已知代数式看成一个整体代入求值．

考点二 整式及其运算
1．单项式
只含有数字与字母的 的代数式叫做单项式．单独一个数字或字母也是单项式．
(1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
【点拨】在确定系数时不要遗漏数字前面的符号，如－a2b，系数是－，而不是或.
(2)一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数．
2．多项式
几个单项式的 叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．一个多项式含有几项，这个多项式就是几项式，多项式中 项的次数，就是这个多项式的次数．
3．整式
单项式与多项式统称为整式．
4．同类项
(1)同类项：多项式中，所含 相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有 项都是同类项．
(2)合并同类项：把多项式中的 合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的 不变．
5．整式的加减
(1)整式加减的实质是 ．
(2)去括号法则：括号前是“＋”号，括号内各项都不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c；括号前是“－”号，括号内每一项都 ，如a－(b＋c)＝a－b－c.
(3)添加括号法则：括号前是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号；括号前是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．
6．整式的乘除
(1)单项式乘单项式：把它们的 、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的相同字母的幂作为 的一个因式.如2a·3ab＝6a2b.
(2)单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 .如m(a＋b)＝ma＋mb.
(3)多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 .如(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb.
(4)单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除，作为 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个因式.如ma2÷na＝(n≠0，a≠0).
(5)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商 .如(ma＋mb)÷m＝a＋b(m≠0).
7. 幂的运算
运算
符号表示(ab≠0，m，n，p为正整数)
示例
同底数幂的乘法
am·an＝
x2·x3＝x5
同底数幂的除法
am÷an＝
x3÷x2＝x
幂的乘方
(am)n＝
(x2)3＝x6
积的乘方
(ambn)p＝
(x2y3)2＝x4y6
商的乘方
()n＝
()n＝
8．乘法公式
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝ ．

考点三 因式分解
把一个多项式化为 的形式叫做把这个多项式因式分解．
1．因式分解的方法
(1)提公因式法
公式：ma＋mb＋mc＝ ．
【点拨】公因式的确定：(1)取系数：取多项式中各项系数的最大公因数；(2)取字母：取各项中相同的字母；(3)取指数：取各项中相同字母的最低次幂．
(2)公式法
①平方差公式：a2－b2＝ ；
②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ；
拓展内容：
③十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝ ．
④分组分解法：a2＋b2－c2＋2ab＝a2＋2ab＋b2－c2＝(a＋b)2－c2＝(a＋b＋c)(a＋b－c).
2．因式分解的步骤
(1)若有公因式，要先提公因式，首项含有负号的，连同负号一起提出；
(2)若多项式是二项式，考虑是否具备平方差公式的特点；
(3)若多项式是三项式，考虑是否具备完全平方公式的特点；
(4)若多项式是四项及以上，考虑局部提公因式或使用分组分解法，然后再继续分解；
(5)检查因式分解是否彻底．






重 难 点 讲 解

考点一 代数式求值
方法指导：
根据已知条件求代数式的值，有时需要将已知条件进行适当变形，或将已知关系式作为整体，直接代入所求代数式中进行计算．
经典例题1 (2020•四川一模)已知3x－y＝－2，则代数式2020－3x＋y＝　 　．
【解析】原式＝2020－(3x－y)，∵3x－y＝－2，∴原式＝2020－(－2)＝2022．
【答案】 2022

考点二 整式的运算
方法指导：
进行整式的运算，要掌握整式的所有运算法则、公式，并按照先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序进行运算，有括号的可先算括号里的，也可以利用去括号法则先去括号.
经典例题2 (2020•安徽模拟)下列各式中计算结果为x5的是( )
A．x3＋x2 B．x3﹒x2 C．x﹒x3 D．x7－x2
【解析】x3与x2不是同类项不能合并，故选项A不符合题意；x3﹒x2＝x5，故选项B符合题意；x﹒x3＝x4，故选项C不符合题意；x7与－x2不是同类项不能合并，故选项D不符合题意．
【答案】 B

考点三 乘法公式的应用
方法指导：
乘法公式特殊的结构特点，特别是完全平方式的非负性使其在初中数学中具有广泛地应用，解决相关问题的关键是把握乘法公式的结构特点，能进行灵活变形，并具有整体性及方程思想．
经典例题3 (2020•安徽合肥二模)若a＋b＝3，a2＋b2＝7－3ab，则ab等于( )
A．2 B．1 C．－2 D．－1
【解析】∵a＋b＝3，∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9，∴a2＋b2＝9－2ab，∵a2＋b2＝7－3ab，∴9－2ab＝7－3ab，解得ab＝－2.
【答案】 C

考点四 因式分解
方法指导：
首先要熟练掌握公式的结构特征，并牢记公式，“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式；分解因式的题目中，一般采用“一提、二套、三检查”的方法进行综合分析，即如果整式中含有公因式，要先提取公因式；如果没有公因式，考虑用公式法来分解；并检查因式分解是否彻底．
经典例题4 (2020•河北一模)分解因式：x3－4x2＋4x＝　　　     .
【解析】x3－4x2＋4x＝x(x2－4x＋4)＝x(x－2)2.
【答案】x(x－2)2


过 关 演 练

1．(2020•安徽亳州二模)某公司去年10月份的利润为a万元，11月份比10月份减少5%，12月份比11月份增加了9%，则该公司12月份的利润为( )
A．(a－5%)(a＋9%)万元 B．(a－5%＋9%)万元
C．a(1－5%＋9%)万元 D．a(1－5%)(1＋9%)万元
2．(2020•辽宁模拟)下列四个选项中，计算结果与其他三项不相同的是( )
A．a2﹒a3 B．(a2)3 C．(a3)2 D．a2﹒a4
3．(2020•浙江金华模拟)计算x6÷x2(x≠0)的结果是( )
A．x3 B．x－3 C．x4 D．x－4
4．(2020•青海模拟)把多项式4x－4x3因式分解正确的是( )
A．－x(x＋2)(x－2) B．x(x＋2)(2－x)
C．－4x(x＋1)(1－x) D．4x(x＋1)(1－x)
5．(2020•重庆)已知a＋b＝4，则代数式1＋＋的值为(　　)
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
6．(2020•四川泸州)下列各式运算正确的是(　　)
A．x2＋x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．(x3)2＝x6
7．(2020•黑龙江绥化)下列计算正确的是(　　)
A．b2•b3＝b6 B．(a2)3＝a6 C．﹣a2÷a＝a D．(a3)2•a＝a6
8．(2020•山东德州)下列运算正确的是(　　)
A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5
C．(﹣2a)2＝﹣4a2 D．a6÷a2＝a3
9．(2020•江苏连云港)下列计算正确的是(　　)
A．2x＋3y＝5xy B．(x＋1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2
C．a2•a3＝a6 D．(a﹣2)2＝a2﹣4
10．(2020•黑龙江齐齐哈尔)下列计算正确的是(　　)
A．a＋2a＝3a B．(a＋b)2＝a2＋ab＋b2
C．(﹣2a)2＝﹣4a2 D．a•2a2＝2a2
11．(2020•江苏无锡)若x＋y＝2，z﹣y＝﹣3，则x＋z的值是(　　)
A．5 B．1 C．﹣1 D．﹣5
12．(2020•浙江金华)下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋b2 B．2a﹣b2 C．a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
13．(2020•四川甘孜州中考第22题4分)若m2﹣2m＝1，则代数式2m2﹣4m＋3的值为　 　．
14．(2020•贵州黔西南州)若7axb2与﹣a3by的和为单项式，则yx＝　 　．
15．(2020•贵州铜仁)因式分解：a2＋ab﹣a＝　 　．
16．(2020•浙江温州)分解因式：m2﹣25＝　 　．
17．(2020•贵州黔西南州)把多项式a3﹣4a分解因式，结果是　 　．
18．(2020•黑龙江齐齐哈尔)因式分解：3a2﹣48.



19．(2020•浙江嘉兴)(1)计算：(2020)0﹣＋|﹣3|；
(2)化简：(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)．




20．(2020•山东济宁)先化简，再求值：(x＋1)(x﹣1)＋x(2﹣x)，其中x＝．








参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. 运算符号
考点二 1. 乘积 2. 和 次数最高 4. (1)字母 常数 (2)同类项 指数 5. (1)合并同类项 (2)变号 6. (1)系数 积 (2)相加 (3)相加 (4)商 指数 (5)相加 7. am＋n am－n amn ampbnp 8. (1)a2－b2 (2)a2±2ab＋b2
考点三 n个最简整式的积 (1)m(a＋b＋c) (2)①(a＋b)(a－b) ②(a±b)2 ③(x＋p)(x＋q)

过关演练
1. D 解析：先表示11月份利润为a(1－5%)万元，则12月份利润为a(1－5%)(1＋9%)万元．
2. A 解析：分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一计算，得出选项A的正确结果为a2﹒a3＝a5；选项B的正确结果为(a2)3＝a6；选项C的正确结果为(a3)2＝a6；选项D的正确结果为a2﹒a4＝a6．
3. C 解析：直接利用同底数幂的除法运算法则计算得原式＝x6－2＝x4．
4. D 解析：原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．即原式＝4x(1－x2)＝4x(x＋1)(1－x)．
5. A 解析：当a＋b＝4时，原式＝1＋(a＋b)＝1＋×4＝1＋2＝3．
6. D 解析：x2与x3不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故选项B不合题意；x2•x3＝x5，故选项C不合题意；(x3)2＝x6，故选项D符合题意．
7. B 解析：b2•b3＝b5，故选项A不合题意；(a2)3＝a6，故选项B符合题意；﹣a2÷a＝﹣a，故选项C不合题意；(a3)2•a＝a7，故选项D不合题意．
8. B 解析：6a﹣5a＝a，故选项A不符合题意；a2•a3＝a5，故选项B符合题意；(﹣2a)2＝4a2，故选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，故选项D不符合题意．
9. B 解析：2x与3y不是同类项，所以不能合并，故选项A不合题意；(x＋1)(x﹣2)＝x2﹣x﹣2，故选项B符合题意；a2•a3＝a5，故选项C不合题意；(a﹣2)2＝a2﹣4a＋4，故选项D不合题意．
10. A 解析：a＋2a＝(1＋2)a＝3a，故选项A计算正确；(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，故选项B计算错误；(﹣2a)2＝4a2，故选项C计算错误；a•2a2＝2a3，故选项D计算错误．
11. C 解析：∵x＋y＝2，z﹣y＝﹣3，∴(x＋y)＋(z﹣y)＝2＋(﹣3)，整理得：x＋y＋z﹣y＝2﹣3，即x＋z＝﹣1，则x＋z的值为﹣1．
12. C 解析：a2＋b2不能运用平方差公式分解，故选项A错误；2a﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项B错误；a2﹣b2能运用平方差公式分解，故选项C正确；﹣a2﹣b2不能运用平方差公式分解，故选项D错误．
13. 5 解析：∵m2﹣2m＝1，∴原式＝2(m2﹣2m)＋3＝2＋3＝5．
14. 8 解析：∵7axb2与﹣a3by的和为单项式，∴7axb2与﹣a3by是同类项，∴x＝3，y＝2，∴yx＝23＝8．
15. a(a＋b﹣1) 解析：原式＝a(a＋b﹣1)．
16. (m﹣5)(m＋5) 解析：原式＝(m﹣5)(m＋5)．
17. a(a＋2)(a﹣2) 解析：原式＝a(a2﹣4)＝a(a＋2)(a﹣2)．
18. 解：3a2﹣48＝3(a2﹣16)＝3(a＋4)(a﹣4)．
19. 解：(1)(2020)0﹣＋|﹣3|＝1﹣2＋3＝2；
(2)(a＋2)(a﹣2)﹣a(a＋1)＝a2﹣4﹣a2﹣a＝﹣4﹣a．
20. 解：原式＝x2﹣1＋2x﹣x2＝2x﹣1，当x＝时，原式＝2×﹣1＝0．