第23章 与圆有关的计算-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第23章 与圆有关的计算-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共18页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第23章 与圆有关的计算

考 点 梳 理

考点一 弧长与扇形面积的计算
1．弧长的计算
半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为l＝ .
2．扇形面积的计算
(1)半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积为S扇形＝ ；
(2)半径为R，弧长为l的扇形面积为S扇形＝ .
3．弓形面积

图1 图2 图3
(1)当弓形所含的弧是劣弧时：如图1所示，S弓形＝S扇形－ ；
(2)当弓形所含的弧是优弧时：如图2所示，S弓形＝S扇形＋ ；
(3)当弓形所含的弧是半圆时：如图3所示，S弓形＝S圆O.
【点拨】求不规则图形的面积关键是把不规则图形转化为规则图形．
　
考点二 圆柱和圆锥的侧面积和全面积
1．圆柱
设圆柱的高为h，底面半径为R，则有：
(1)S圆柱侧＝ ；
(2)S圆柱全＝2πRh＋ .
2．圆锥
设圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则有：
(1)S圆锥侧＝ ；
(2)S圆锥全＝πlR＋ ；
(3)圆锥的侧面展开图是一个扇形，圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径．

考点三 正多边形和圆
1．正多边形和圆的有关概念
(1)各边 、各角 的多边形叫做正多边形．
(2)一个正多边形 的圆心叫做这个正多边形的中心．
(3)正多边形外接圆的 叫做正多边形的半径．
(4)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ．
(5)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距，也是正多边形 的半径．
2．正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成几条 的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正几边形．
3．正多边形的有关计算
(1)边长：an＝2Rn·sin；
(2)周长： Cn＝n·an；
(3)边心距：rn＝Rn·cos；
(4)面积：Sn＝an·rn·n；
(5)内角度数： ；
(6)外角度数： ；
(7)中心角度数： .










重 难 点 讲 解

考点一 弧长的有关计算
方法指导：
熟记弧长公式l＝. 若求弧长l，则设法求出n或R；若已知弧长l，则根据公式可求n或R．
经典例题1 (2020•安徽二模)如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是的弦，过点O作OD∥AC交⊙O于点D，连接BC，若∠ABC＝24°，则劣弧CD的长为(　　)

A． B． C． D．
【解析】 连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝24°，∴∠A＝90°－24°＝66°，∴∠BOC＝2×66°＝132°，∵AC∥OD，∴∠BOD＝∠A＝66°，∴∠COD＝132°－66°＝66°，∵AB＝4，∴劣弧CD的长＝＝.
【答案】 B

考点二 扇形面积的有关计算
方法指导：
如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式S扇形＝或S扇形＝lR.对于公式S扇形＝lR，可以类比三角形的面积公式进行记忆，在具体应用时要根据条件灵活的选用不同的公式，另外利用弧长、扇形面积的计算公式，一是l，n，R，S扇形四个量中的任意两个，可求另两个.
经典例题2 (2020•山东枣庄模拟)如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)(　　)

A．8－π B．16－2π C．8－2π D．8－π
【解析】 S阴＝S△ABD－S扇形BAE＝×4×4－＝8－2π．
【答案】 C

考点三 与圆有关的阴影部分面积的求法
方法指导：
阴影部分往往是不规则图形，求其面积时往往需要运用转化与化归思想，将不规则的阴影图形转化为规则图形．常用的转化方法有如下几种．
(1)分割法：将不规则图形分割为若干个规则图形．
(2)割补法：割下某些图形补到适当的位置，使之构成规则的图形 .
(3)等积替换法：通过等面积转化，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
经典例题3 (2020•江苏徐州模拟)如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路线为弧BD，求图中阴影部分的面积．

【解析】 根据勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，根据旋转得出∠DAB＝30°，△AED≌△ACB，求出S△AED＝S△ACB，再求出图中阴影部分的面积S＝S扇形DAB＋S△AED－S△ACB＝S扇形DAB，求出扇形的面积即可．
解：∵在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴AC2＋BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，∴根据旋转可知：∠DAB＝30°，△AED≌△ACB，∴S△AED＝S△ACB，∴图中阴影部分的面积S＝S扇形DAB＋S△AED－S△ACB＝S扇形DAB＝＝π．

考点四 圆锥的有关计算
方法指导：
首先要明白扇形围成圆锥的过程，扇形的半径变为圆锥的母线，扇形的弧长变为圆锥的底面圆的周长，再利用有关公式求解．
经典例题4 (2020•青海模拟)如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于(　　)

A．9π B．12π C．15π D．20π
【解析】 ∵AC＝4，BC＝5，∴由勾股定理得：AB＝3，∴底面的周长是6π，∴圆锥的侧面积＝×6π×5＝15π．
【答案】 C












过 关 演 练

1．(2020•四川乐山中考)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为(　　)

A． B． C． D．π
2．(2020•江苏苏州中考)如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
3．(2020•湖南常德中考)一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A．100π B．200π C．100π D．200π
4．(2020•山东聊城中考)如图，有一块半径为1m，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽略不计)，那么这个圆锥形容器的高为(　　)

A．m B．m C．m D．m
5．(2020·江苏常州模拟)如图，点A，B，C在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝60°，则劣弧AC的长为(　　)

A．π B．2π C．3π D．4π
6. (2020•安徽二模)如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为(　　)

A．r B．2r C．r D．3r
7．(2020·陕西模拟)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是(　　)

A．π B．2π C．3π D．6π
8．(2020·安徽模拟)如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E，则图中阴影部分的周长是(　　)

A．2＋　　　　　　B．＋ C．2＋π D．1＋π
9．(2020·山东烟台模拟)如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为(　　)

A．27－9　　　 　B．54－18 C．18 D．54
10. (2020•河北一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝，AB＝2，以点A为圆心，以AC为半径画弧，交AB于点D，则扇形CAD的周长是 (结果保留π)．

11. (2020•上海二模)如图，△ABC中，AB＝4，∠C＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，D为BC的中点，则图中阴影部分的面积为 ．

12．(2020·天津模拟)如图，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，O，A，B都是格点，若图中扇形AOB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．

13．(2020·云南模拟)如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心点，点M和点N分别在AB和DE上，且AM＝DN，则∠MON＝ ．

14．(2020•浙江温州中考)若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　．
15．(2020•黑龙江哈尔滨中考)一个扇形的面积是13πcm2，半径是6cm，则此扇形的圆心角是　 　度．
16．(2020•浙江宁波中考)如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为　 　cm(结果保留π)．

17．(2020•江苏连云港中考)用一个圆心角为90°，半径为20cm的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径为　 　cm．
18．(2020•山东德州中考)若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
19．(2020·河北二模)如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部面积是 ．

20．(2020·山东滨州二模)如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点F，若点O恰好在圆弧上，且AD＝6，则阴影部分的面积为 ．

21．(2020·四川成都二模)如图，若从一块半径是6cm的圆形纸片圆O上剪出一个圆心角为60°的扇形(点A，B，C在圆O上)，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆半径是 cm.

22．(2020•浙江金华中考)如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
(1)求弦AB的长．
(2)求的长．



24．(2020·安徽阜阳模拟)如图，△ABC是边长为2的等边三角形，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E，连接DE.
(1)求线段DE的长；
(2)若分别以B，C为圆心，2为半径画和，求以BC为直径的半圆与，围成的图形(图中阴影部分)的面积．



25．(2020·江西模拟)如图，点C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，作DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求证：AF＝DF.
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．





26．(2020•内蒙古通辽中考)中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t(s)．
(1)求证：四边形PBQE为平行四边形；
(2)求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．










参 考 答 案

考点梳理
考点一 1. 2. (1) (2)lR 3. (1)S△AOB (2)S△AOB
考点二 1. (1)2πRh (2)2πR2 2. (1)πlR (2)πR2
考点三 1. (1)相等 相等 (2)外接圆 (3)半径 (4)中心角 (5)内切圆 2. 相等 3. (5) (6) (7)

过关演练
1. B 【解析】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴﹣﹣(×1×﹣)＝．
2. B 【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1．
3. C 【解析】这个圆锥的母线长＝＝10，这个圆锥的侧面积＝×2π×10×10＝100π．
4. C 【解析】设底面半径为rm，则2πr＝，解得r＝，故其高为＝m．
5. B 【解析】连接OA，OC，则OA＝OC＝OB＝3，∵∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴劣弧AC的长为＝2π.
6. B 【解析】∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr．设圆锥的母线长为R，则＝2πr，解得R＝3r．根据勾股定理得圆锥的高为2r．
7. C 【解析】∵在▱ABCD中，∠A＝2∠B，∠A＋∠B＝180°，∴∠A＝120°，∵∠C＝∠A＝120°，⊙C的半径为3，∴图中阴影部分的面积是＝3π.
8. A 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝，∠A＝90°，∵BE＝BC＝2.在Rt△ABE中，∵AB＝，BE＝2，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，AE＝AB＝，∴DE＝AD－AE＝2－，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝45°，∴的长度＝＝，∴图中阴影部分的周长为＋2－＋＝2＋.
9. B 【解析】设EF交AH于点M、交HD于点N，连接OF，OE，根据题意得△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，∴EF＝OF＝6，∴△EFO的高为OF·sin60°＝6×＝3，MN＝2(6－3)＝12－6，∴FM＝(6－12＋6)＝3－3，∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4×(3－3)×3＝54－18.
10. ＋2 【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝，AB＝2，∴sinA＝＝，∴∠A＝60°，∴AC＝AB＝1，∴的长为＝，∴扇形CAD的周长是＋2．
11. π 【解析】连接AD，∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC，∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BD，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝24°，∴∠AOD＝48°，∵AB＝4，∴OA＝2，∴图中阴影部分的面积＝＝π．
12. 【解析】∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AO＝＝.∵∠AOB＝90°，∴＝2πr，∴r＝.
13. 135° 【解析】连接OA，OB，OC，OD，∵正八边形是中心对称图形，∴中心角为360°÷8＝45°，∴∠OAM＝∠ODN＝＝67.5°，∵OA＝OD，∠OAM＝∠ODN，AM＝DN，∴△OAM≌△ODN(SAS)，∴∠AOM＝∠DON，∴∠MON＝∠MOB＋∠BOC＋∠COD＋∠NOD＝3∠AOB＝135°.
14. π 【解析】根据弧长公式：l＝＝π．
15. 130 【解析】设这个扇形的圆心角为n°，＝13π，解得n＝130．
16. 18π 【解析】∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，∴的长＝＝18π．
17. 5 【解析】设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr＝，解得r＝5cm．
18. 120° 【解析】圆锥侧面展开图的弧长是2π×2＝4πcm，设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得n＝120°．
19. 3π－ 【解析】作OD⊥AB于点D，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠ACB＝120°，∵OA＝OB，OD⊥AB，∴∠AOD＝∠AOB＝60°，BD＝AD，则OD＝OA×cos∠AOD＝3×＝，AD＝OA×sin∠AOD＝3×＝，∴AB＝2AD＝3，∴图中阴影部面积为－×3×
＝3π－.
20. 54－18π 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OC＝AC，OB＝BD，∴OB＝OC，∵BC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠CBO＝60°，∵AD＝BC＝6，∴CD＝18，∴阴影部分的面积为S△BCD－S扇形BOC＝×18×6－＝54－18π.
21. 【解析】连接OA，作OD⊥AB于点D.在Rt△OAD中，OA＝6，∠OAD＝∠BAC＝30°，则AD＝OA·cos30°＝3.则AB＝2AD＝6，则扇形的弧长是＝2π，设底面圆的半径是r，则2πr＝2π，解得r＝.
22. 解：(1)∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，∴AC＝OA•sin60°＝2×＝，∴AB＝2AC＝2；
(2)∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝2，∴的长是＝．
24. 解：(1)取线段BC的中点O，连接OD，OE，由题意可得，OB＝OD＝OE＝OC，∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∴△ODB和△OEC都是等边三角形，∴BD＝CE＝OB＝OC＝BC，∴点D，E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴DE＝.　
(2)由题意可得，以BC为直径的半圆与 ，围成的图形(图中阴影部分)的面积是[－×2×2×sin60°]×2＋×2×2×sin60°－π×()2＝－3.

25. (1)证明：连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，度数都是60°，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠DAC＝30°，∠CAB＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠ADE＝180°－90°－30°－30°＝30°，∴∠DAC＝∠ADE＝30°，∴AF＝DF.　
(2)解：由(1)知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝－×2×＝π－.
26. (1)证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中， ∴△ABP≌△DEQ(SAS)，∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．
(2)解：连接BE，OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE
＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示，则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．

图1 图2