第13章 二次函数的应用-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

这是一份第13章 二次函数的应用-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案），共12页。
2022年中考数学一轮复习(通用版)
第13章 二次函数的应用

考 点 梳 理

考点 二次函数的应用
在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际问题．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确定其自变量的取值范围．





重 难 点 讲 解

考点一 利用二次函数解决几何图形的最值问题
方法指导：
此类型最常见的是图形面积最值问题，一般含有两个变化的未知量，可以设其中一个为自变量，再利用图形中存在的等量关系用这个自变量表示出另一个变化的未知量，从而利用图形面积公式列出二次函数的关系式，进而利用二次函数的性质求出最值.注意这里的等量关系可以是周长公式、由相似得到的比例式、勾股定理、锐角三角函数等.
经典例题1 (2020•江西模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动(不与点B重合)；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么经过 秒四边形APQC的面积最小．

【解析】 设运动时间为t秒时(0≤t≤6)，四边形APQC的面积为S，∵PB＝AB－2t＝12－2t，BQ＝4t，∴S△BPQ＝PB•BQ＝(12－2t)•4t＝24t－4t2，∴S＝S△ABC－S△BPQ＝AB•BC－(24t－4t2)＝4t2－24t＋144，∵S＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108，∴经过3秒四边形APQC的面积最小．
【答案】 3


考点二 利用二次函数解决销售利润问题
方法指导：
解决此类问题，一般要利用其中的等量关系列出二次函数解析式，在利用函数的图像性质及问题的具体情况解决问题.求最值时，并不一定是二次函数图象顶点的纵坐标为最值，要注意自变量实际取值范围的限制条件.
经典例题2 (2020•安徽合肥模拟)某水果店销售一批水果，平均每天可售出40kg，每千克盈利4元，经调查发现，每千克降价0.5元，商店平均每天可多售出10kg水果，则商店平均每天的最高利润为 元．
【解析】 设每千克降价x元，由题意得每天的销售量为40＋×10＝(40＋20x)千克.设商店平均每天的利润为w元，由题意得：w＝(4－x)(40＋20x)＝－20x2＋40x＋160＝－20(x－1)2＋180，∵二次项系数为－20＜0，∴当x＝1时，w取得最大值180元．
【答案】 180

考点三 利用二次函数解决抛物线性问题
方法指导：
此类问题需要先建立直角坐标系，再利用待定系数法求函数关系式，最后利用二次函数的图象性质及问题的实际情况解决问题．
经典例题3 (2020•河北模拟)某景区平面图如图1所示，A，B，C，E，D为边界上的点，已知边界CED是一段抛物线，其余边界均为线段，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝BC＝3，AB＝8，抛物线顶点E到AB的距离OE＝7，以AB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

图1 图2
(1)求边界CED所在抛物线的解析式；
(2)如图2，该景区管理处欲在区域ABCED内围城一个矩形MNPQ场地，使得点M，N在边界AB上，点P，Q在边界CED上，试确定点P的位置，使得矩形MNPQ的周长最大，并求出最大周长．
【解析】 (1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋7，将(4，3)代入求得a值即可求得解析式；(2)设P(m，－m2＋7)，则PQ＝AB＝2m，PN＝QM＝2(－m2＋7)＝－m2＋14，然后表示出矩形的面积并求二次函数的最值即可．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2＋7，将(4，3)代入求得a＝－，∴y＝－x2＋7；
(2)设P(m，－m2＋7)，则PQ＝AB＝2m，PN＝QM＝2(－m2＋7)＝－m2＋14，∴C矩形MNPQ＝2m－m2＋14＝－(m－2)2＋16(0＜m＜4)，∴当m＝2时，周长最大，最大值为16，此时P(2，6).

过 关 演 练

1. (2020•安徽芜湖模拟)如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是(　　)

A．16m2 B．12 m2 C．18 m2 D．以上都不对
2. (2020•江苏无锡模拟)某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y(万元)和月份n之间满足函数关系式y＝－n2＋14n－24，则没有盈利的月份为(　　)
A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月
3. (2020•湖南郴州模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感为“2017北京•房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(　　)
A．14 B．11 C．6 D．3
4．(2020•山西中考第9题3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为(　　)
A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m
5．(2020·四川达州模拟)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s. 其中正确的是(　　)

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③
6．(2020·青海模拟)如图的一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，则水面的宽是 米．

7．(2020•湖北天门中考)某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为　 　元．
8．(2020•四川达州中考)已知k为正整数，无论k取何值，直线l1：y＝kx＋k＋1与直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2都交于一个固定的点，这个点的坐标是　 　；记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＝　 　，S1＋S2＋S3＋…＋S100的值为　 　．
9. (2020•浙江衢州模拟)在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且AE＝AH＝CF＝CG，已知AB＝a，BC＝b．
(1)若≤a≤3b时，求四边形EFGH的面积的最大值；
(2)若a＝4，b＝16，求四边形EFGH的面积的最大值．










10. (2020•吉林模拟)如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这是水面宽度为10m．

(1)在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
(2)若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？







11．(2020•四川成都中考)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x(元/件)
12
13
14
15
16
y(件)
1200
1100
1000
900
800
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．






12．(2020·黑龙江大庆模拟)某农场要建一个饲养场(长方形ABCD)，饲养场的一面靠墙(墙最大可用长度为27米)，另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门(不用木栏)，建成后木栏总长60米，设饲养场(长方形ABCD)的宽为x米．
(1)求饲养场的长BC(用含x的代数式表示)．
(2)若饲养场的面积为270m2，求x的值．
(3)当x为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？







13. (2020•江苏镇江模拟)为落实国家精准扶贫政策，某地扶贫办决定帮助扶贫对象推销当地特色农产品，该农产品成本价为18元每千克，销售单价y(元)与每天销售量x(千克)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系，其中销售单价不得低于成本价．
(1)求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？








14．(2020·安徽合肥二模)天然生物制药公司投资制造某药物，先期投入了部分资金．企划部门根据以往经验发现，生产销售中所获总利润y随天数x(可以取分数)的变化图象如下，当总利润到达峰值后会逐渐下降，当利润下降到0万元时即为止损点，则停止生产．
(1)设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，求出最大的利润是多少？
(2)在(1)的条件下，经公司研究发现如果添加m名工人(7≤m≤15)，在工资成本增加的情况下，总利润关系变为y＝ax2＋mx－m＋.请研究添加m名工人后总利润的最大值，并给出总利润最大的方案中的m值及生产天数．







15．(2020•江苏无锡中考)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本y；
(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．





16．(2020•浙江台州中考)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1)．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的水平距离)s(单位：cm)与h的关系式为s2＝4h(H﹣h)．

图1 图2
应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．










参 考 答 案

考点梳理


过关演练
1. C 【解析】设与墙垂直的矩形的边长为xm，则这个花园的面积是S＝x(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，S取得最大值，此时S＝18．
2. D 【解析】∵y＝－n2＋14n－24＝－(n－2)(n－12)，1≤n≤12且n为整数，∴当y＝0时，n＝2或n＝12，当y＜0时，n＝1．
3. B 【解析】∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线顶点D的坐标为(1，6)，∵AB＝4，∴点B的横坐标为x＝3，把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得到y＝14，∴CD＝14－6＝8，∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11．
4. C 【解析】由题意可得，h＝﹣5t2＋20t＋1.5＝﹣5(t﹣2)2＋21.5，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5．
5. D 【解析】①由图象知小球在空中上升达到的最大高度是40m，则下落时也经过40m，所以小球在空中经过的路程为80m，错误；②小球抛出3秒后，小球开始下落，其速度越来越快，正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，正确；④设函数解析式为h＝a(t－3)2＋40，把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40，解得a＝－，∴函数解析式为h＝－(t－3)2＋40，把h＝30代入解析式得，30＝－(t－3)2＋40，解得t＝4.5或t＝1.5，∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，错误．
6. 6 【解析】如图所示，建立平面直角坐标系.

设抛物线的解析式为y＝a(x－6)2＋4，∵函数图象过点(0，0)，∴0＝a(0－6)2＋4，得a＝－，∴抛物线的解析式为y＝－(x－6)2＋4，当y＝1时，1＝－(x－6)2＋4，解得，x1＝6＋3，x2＝6－3，∴水面的宽度是6＋3－(6－3)＝6米．
7. 70 【解析】设每顶头盔的售价为x元，获得的利润为w元，w＝(x﹣50)[200＋(80﹣x)×20]＝﹣2(x﹣70)2＋8000，∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝8000．
8. (﹣1，1) 【解析】∵直线l1：y＝kx＋k＋1＝k(x＋1)＋1，∴直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2经过点(﹣1，1)；∵直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2＝k(x＋1)＋(x＋1)＋1＝(k＋1)(x＋1)＋1，∴直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2经过点(﹣1，1)．∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点(﹣1，1)．∵直线l1：y＝kx＋k＋1与x轴的交点为(﹣，0)，直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2与x轴的交点为(﹣，0)，∴SK＝×|﹣＋|
×1＝，∴S1＝×＝；∴S1＋S2＋S3＋…＋S100＝[＋＋…]＝[(1﹣)＋(﹣)＋…＋(﹣)]＝×(1﹣)＝×＝．
9. 解：(1)设AE＝x，∵AE＝AH＝CF＝CG，∴△AEH≌△CGF(SAS)，∵AB＝CD，AD＝BC，∴BE＝DG，HD＝BF，∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BEF＝ab－2×x2－2×(a－x)(b－x)＝ab－x2－(ab－ax－bx＋x2)＝－2x2＋(a＋b)x，当x＝时，S四边形EFGH有最大值，最大值为.
(2)当a＝4，b＝16时，＝50，∴四边形EFGH的面积的最大值为50．
10. 解：(1)设所求抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)，由CD＝10m，可设D(5，b)，由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B(10，b－3)，把D，B的坐标分别代入y＝ax2得解得 ∴y＝－x2；
(2)∵b＝－1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴＝5(小时)．所以再持续5小时到达拱桥顶．
11. 解：(1)∵y与x满足一次函数的关系，∴设y＝kx＋b，将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得 解得 ∴y与x的函数关系式为y＝﹣100x＋2400；
(2)设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400(x﹣2﹣10)＋y(x﹣10)＝400x﹣4800＋(﹣100x＋2400)(x﹣10)＝﹣100(x﹣19)2＋7300，∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
12. 解：(1)由图可得，BC的长是60－3x＋1＋2＝(63－3x)(米)，即BC的长是(63－3x)米．　
(2)令x(63－3x)＝270，解得x1＝6，x2＝15，∵63－3x≤27，得x≥12，∴x＝15，即x的值是15.　
(3)设饲养场的面积是Sm2，S＝x(63－3x)＝－3(x－)2＋，∵63－3x≤27，得x≥12，∴当x＝12时，S取得最大值，此时S＝324.答：当x为12时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为324m2.
13. 解：(1)当0＜x≤20且x为整数时，y＝40；当x＞20时，设y＝kx＋b，代入(20，40)和(50，25)得 解得 ∴y＝－x＋50．当y＝18时，代入y＝－x＋50，得x＝64．∴20＜x≤64且x为整数．综上所述，y与x之间所满足的函数关系式为y＝
(2)设所获利润为w(元)，当0＜x≤20且x为整数时，y＝40，∴w＝(40－18)x＝22x．∵22＞0，∴w随着x的增大而增大，则当x＝20时，w有最大值，最大值为440；当20＜x≤64且x为整数时，y＝－x＋50，∴w＝(－x＋50－18)x＝－x2＋32x＝－(x－32)2＋512，∵－＜0，∴当x＝32时，w增大，最大值为512元．∵512＞440，∴当x＝32时，获利最大，最大利润是512元．
14. 解：(1)由函数图象可知过点(0，－45)，(5，0)，(45，0)，则解得∴y＝－x2＋10x－45＝－(x－25)2＋80，∴x＝25时，y最大为80万元．答：最大的利润是80万元．　
(2)由(1)知a＝－.∴总利润关系变为y＝－x2＋mx－m＋＝－(x－)2＋(m2－14m＋)，设w＝(m2－14m＋)，则m＝7为该函数的对称轴，∵7≤m≤15，二次项系数为正，∴当m＝15时，w值最大，∴当x＝时，y有最大值，最大值为92万元．答：增加15人，在第天总利润最大为92万元．
15. 解：(1)当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，y＝2×(EH＋AD)×20x＋2×(GH＋CD)×x×60＋EF•EH×40＝(20＋30)×5×20＋(10＋20)×5×60＋20×10×40＝22000；
(2)EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，参考(1)，由题意得：y＝(30×30﹣2x)•x•20＋(20＋20﹣2x)•x•60＋(30﹣2x)(20﹣2x)•40＝﹣400x＋24000(0＜x＜10)；
(3)S甲＝2×(EH＋AD)×2x＝(30﹣2x＋30)x＝﹣2x2＋60x，同理S乙＝﹣2x2＋40x，∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴﹣2x2＋60x﹣(﹣2x2＋40x)≤120，解得：x≤6，故0＜x≤6，而y＝﹣400x＋24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
16. 解：(1)∵s2＝4h(H﹣h)，∴当H＝20cm时，s2＝4h(20﹣h)＝﹣4(h﹣10)2＋400，∴当h＝10cm时，s2有最大值400，∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
(2)∵s2＝4h(20﹣h)，设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有4a(20﹣a)＝4b(20﹣b)，∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴(a＋b)(a﹣b)＝20(a﹣b)，∴(a﹣b)(a＋b﹣20)＝0，∴a﹣b＝0，或a＋b﹣20＝0，∴a＝b或a＋b＝20；
(3)设垫高的高度为m，则s2＝4h(20＋m﹣h)＝﹣4(h－)2＋(20＋m)2，∴当h＝cm时，smax＝20＋m＝20＋16，∴m＝16cm，此时h＝＝18cm．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．