第14章 线段、角、相交线与平行线-2021年中考数学一轮复习（考点梳理＋重难点讲解＋过关演练）（通用版）（含答案）

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2022年中考数学一轮复习(通用版)
第14章 线段、角、相交线与平行线

考 点 梳 理

考点一 线段、直线、射线
1．点动成线，线动成面，面动成体．
2．几何体中面与面相交形成线；线与线相交形成点．
3．直线、线段、射线
(1)直线、线段、射线
名称
端点个数
特征
表示及读法
直线
无
可向两方无限延伸
直线AB或直线BA
射线
一个
可向一方无限延伸
射线OA
线段
两个
有一定长度，可度量
线段AB或线段BA
(2)直线、线段基本事实及相关概念
直线基本事实： ．
线段基本事实： ．
直线性质：两直线相交， ．
线段的和与差：如图1，在线段AC上取一点B，则有：AB＋ ＝AC；AB＝ －BC；BC＝AC－ .

图1 图2
线段的中点：如图2，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点，即有AM＝ ＝AB. 两点之间的距离：连接两点之间的线段 .

考点二 角及其平分线
1．角的概念
有公共端点的两条 组成的图形叫做角．这个公共端点称为角的顶点，这两条射线是角的两边．
2．角的分类
角的分类
锐角
直角
钝角
平角
周角
角的度数
0°＜α＜90°
α＝90°
90°＜α＜180°
α＝180°
α＝360°
3．度、分、秒的换算
1°＝60′，1′＝60″，角的度、分、秒是 进制的．
4．余角和补角
(1)余角
①概念：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角．
②性质：同角(或等角)的余角 ．
(2)补角
①概念：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角．
②性质：同角(或等角)的补角 ．
5．角平分线
(1)概念：一条射线把这个角平分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
(2)性质：角平分线上的点到角两边的距离 ．
(3)判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在 上．

考点三 相交线
1．对顶角
(1)举例：如图3，∠1与∠3，∠2与∠4，∠5与∠7，∠6与∠8.

图3
(2)性质：对顶角 ．
2．邻补角
(1)举例：如图3，∠1与∠4，∠2与∠3等．
(2)性质：邻补角之和等于 ．
3．三线八角
(1)同位角：如图3，∠1与∠5，∠2与 ，∠3与∠7，∠4与 ．
(2)内错角：如图3，∠2与∠8，∠3与 ．
(3)同旁内角：如图3，∠2与∠5，∠3与 ．
4．垂线及其性质
(1)垂线：如图，在两条直线AB和CD相交所成的四个角中，如果有一个角是90°，我们就说这两条直线互相垂直，记作“AB⊥CD”．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足．

(2)垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，该点与垂足之间的 叫做点到直线的垂线段．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 的长度，叫做点到直线的距离．
(4)垂线的基本性质
①在同一平面内，过一点，有且只有一条直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短．
5．线段垂直平分线
(1)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的 相等；
(2)逆定理：到线段两端点距离相等的点在该线段的 上．

考点四 平行线的判定与性质
1．平行线的概念
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a平行于直线b，可记作a∥b.
2．平行线间的距离
(1)定义：过平行线上的一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离．
(2)性质：两条平行线间的距离处处 ．
3．平行公理及推论
(1)公理：经过直线外一点，有且只有 直线与这条直线平行；
(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 ．
4．平行线的性质和判定
(1)同位角 两直线平行；
(2)内错角相等两直线 ；
(3)同旁内角 两直线平行．
拓展：同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．
【点拨】(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.(2)应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆.

考点五 命题与定理
1．命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题由条件和结论两部分组成．
2．真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
3．假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
4．互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．
5. 定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.
命题与定理的关系，定理是真命题，但真命题不一定是定理.
【点拨】(1)许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果……那么……”的形式.(2)命题写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论.(3)命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.






重 难 点 讲 解

考点一 线段、角的有关计算
方法指导：
有关线段、角计算的题目一般较为简单，解题关键是能借助图形分析线段、角之间的关系，并进行推理和计算．
经典例题1 (2020•青海模拟)如图，点C，D是线段AB上两点，且AB＝8cm，CD＝2cm，点M是AC的中点，点N是BD的中点，求线段MN的长度．

【解析】 结合图形，得MN＝MC＋CD＋ND，根据线段的中点的定义，得MC＝AC，ND＝DB，然后代入，结合已知的数据进行求解．
解：∵M，N分别是AC，BD的中点，∴MN＝MC＋CD＋ND＝AC＋CD＋DB＝(AC＋DB)＋CD＝(AB－CD)＋CD＝5.5cm．

经典例题2 (2020•安徽二模)如图，∠AOD＝60°，∠AOB：∠BOC＝1：4，OD平分∠BOC，则∠AOC的度数为(　　)

A．20° B．80° C．100° D．120°
【解析】 ∵∠AOB：∠BOC＝1：4，∴设∠AOB为x，∠BOC为4x，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝2x，∵∠AOD＝60°，∴x＋2x＝60°，∴x＝20°，4x＝80°，∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝20°＋80°＝100°．
【答案】 C

考点二 利用平行线的判定和性质解决问题
方法指导：
利用平行线的性质求角的度数，先观察要求的角与已知角的位置关系，再选择合适的角进行等量代换，因此需要熟练掌握平行线的性质．另外在解题过程中，要注意平角、直角、三角形内角和定理及其推论等知识的综合运用．
经典例题3 (2020•湖南岳阳中考)如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是(　　)

A．20° B．25° C．30° D．50°
【解析】 ∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，∴∠ABE＝∠EBC＝25°，∵BE∥DC，∴∠EBC＝∠C＝25°．
【答案】 B







过 关 演 练

1．(2020·山西模拟)下列说法正确的有(　　)
①过两点只能画一条直线；②过两点只能画一条射线；③过两点只能画一条线段．
A．1个 B．2个　　 C．3个 D．0个
2．(2020·江西模拟)下列说法中正确的有(　　)
①射线比直线小一半；②连接两点的线段叫两点间的距离；③过两点有且只有一条直线；④两点之间所有连线中，线段最短
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．(2020·安徽阜阳模拟)如图，AB⊥BC，垂足为B.AB＝4.5，P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是(　　)

A．6 B．5 C．4.5 D．4.4
4．(2020·海南模拟)观察下列几个命题：①相等的角是对顶角；②同位角都相等；③三个角相等的三角形是等边三角形；④两直线平行，内错角相等；⑤若a2＝b2，则a＝b.其中真命题的个数有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．(2020•河北中考)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有(　　)

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．(2020•四川自贡中考)如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是(　　)
A．50° B．70° C．130° D．160°
7．(2020•贵州安顺中考)如图，直线a，b相交于点O，如果∠1＋∠2＝60°，那么∠3是(　　)

A．150° B．120° C．60° D．30°
8．(2020•四川乐山中考)如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝(　　)

A．10° B．20° C．30° D．40°
9．(2020•四川凉山州中考)点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为(　　)
A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm
10．(2020•浙江金华中考)如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b．理由是(　　)

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
11．(2020•贵州遵义中考)一副直角三角板如图放置，使两三角板的斜边互相平行，每块三角板的直角顶点都在另一三角板的斜边上，则∠1的度数为(　　)

A．30° B．45° C．55° D．60°
12．(2020•上海中考)下列命题中，真命题是(　　)
A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形
B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形
13．(2020•四川泸州中考)下列命题是假命题的是(　　)
A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相垂直平分 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等
14．(2020•山东德州中考)下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
15．(2020•内蒙古呼和浩特中考)命题①设△ABC的三个内角为A，B，C且α＝A＋B，β＝C＋A，γ＝C＋B，则α，β，γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
16. (2020·湖北荆门模拟)如图，已知直线AB∥CD，DA⊥CE于点A，若∠D＝32°，则∠EAB的度数是(　　)

A．58° B．78° C．48° D．32°
17. (2020•安徽一模)如图，AB∥CD，FG平分∠CFE．若∠＝130°，则∠EGF的度数为(　　)

A．45° B．50° C．65° D．70°
18．(2020·河北模拟)“等角的余角相等”改写成“如果 ，那么 ”．
19．(2020·湖南邵阳模拟)命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”的结论是 ．
20．(2020·浙江宁波模拟)已知∠1＝52°45′，∠2＝38°50′，则∠1－∠2＝ ．
21．(2020•湖北咸宁中考)如图，请填写一个条件，使结论成立：
∵　 　，∴a∥b．

22. (2020•河南模拟)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕．若∠ABE＝30°，则∠DBC为 ．

23．(2020•贵州铜仁中考)设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm．
24. (2020•云南模拟)如图，点C，D是线段AB上两点，点C分线段AD为1：3两部分，点D是线段CB的中点，AD＝8．
(1)求线段AC的长；
(2)求线段AB的长．








25．(2020·广西桂林模拟)(1)如图，已知点C在线段AB上，且AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．

(2)在(1)中，如果AC＝acm，BC＝bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表述你发现的规律．
(3)对于(1)题，如果我们这样叙述它：“已知线段AC＝6cm，BC＝4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．







26．(2020·上海模拟)如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点(与A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C，D.(要有推理过程，不需要写出每一步的理由)
(1)求∠CBD的度数；
(2)试说明∠APB＝2∠ADB；
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数．












参 考 答 案

考点梳理
考点一 3. (2)经过两点，有且只有一条直线 两点之间线段最短 只有一个交点 BC AC AB BM 长度
考点二 1. 射线 3. 60 4. (1)②相等 (2)②相等 5. (2)相等 (3)角的平分线
考点三 1. (2)相等 2. (2)180° 3. (1)∠6 ∠8 (2)∠5 (3)∠8 4. (2)线段 (3)垂线段 (4)②垂线段 5. (1)距离 (2)垂直平分线
考点四 2. (3)相等 3. (1)一条 (2)平行 4. (1)相等 (2)平行 (3)互补

过关演练
1. B
2. B 【解析】①射线比直线小一半，根据射线与直线都无限长，错误；②连接两点的线段的长度叫两点间的距离，错误；③过两点有且只有一条直线，正确；④两点之间所有连线中，线段最短，正确；故正确的有2个．
3. D 【解析】∵AB⊥BC，∴AP≥AB，即AP≥4.5.∴线段AP的长不可能是4.4.
4. C 【解析】①相等的角不一定是对顶角，①是假命题；②只有在两直线平行时，同位角相等，②是假命题；③三个角相等的三角形是等边三角形，③是真命题；④两直线平行，内错角相等，④是真命题；⑤若a2＝b2，则a＝±b，⑤是假命题．
5. D 【解析】在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，所以作已知直线的垂线，可作无数条．
6. C 【解析】设这个角是x°，根据题意，得x＝2(180－x)＋30，解得x＝130．即这个角的度数为130°．
7. A 【解析】∵∠1＋∠2＝60°，∠1＝∠2(对顶角相等)，∴∠1＝30°，∵∠1与∠3互为邻补角，∴∠3＝180°－∠1＝180°－30°＝150°．
8. B 【解析】∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，∴∠CEF＝180°－∠FEA＝180°－40°＝140°，∠CEG＝180°－∠AEF－∠GEF＝180°－40°－90°＝50°，∵射线EB平分∠CEF，∴∠CEB＝∠CEF＝×140°＝70°，∴∠GEB＝∠CEB－∠CEG＝70°－50°＝20°．
9. C 【解析】∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC＝AB＝×12＝6(cm)，点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC＋CD＝BC＋AC＝6＋4＝10(cm)；②当AD＝AC时，
如图，BD＝BC＋CD′＝BC＋AC＝6＋2＝8(cm)．所以线段BD的长为10cm或8cm．

10. B 【解析】由题意a⊥AB，b⊥AB，∴a∥b(垂直于同一条直线的两条直线平行)．
11. B 【解析】如图，∵AB∥CD，∴∠1＝∠D＝45°．

12. C 【解析】对角线相等的梯形是等腰梯形，故选项A错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项B错误；对角线平分一组对角的梯形是菱形，故选项D错误．
13. B 【解析】平行四边形的对角线互相平分，故选项A是真命题；矩形的对角线互相相等，不是垂直，故选项B原命题是假命题；菱形的对角线互相垂直平分，故选项C是真命题；正方形的对角线互相垂直平分且相等，故选项D是真命题．
14. B 【解析】①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题.故真命题有2个．
15. B 【解析】①设α，β，γ中，有两个或三个锐角，若有两个锐角，假设α，β为锐角，则A＋B＜90°，A＋C＜90°，∴A＋A＋B＋C＝A＋180°＜180°，∴A＜0°，不成立，若有三个锐角，同理，不成立，假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，∴最多只有一个锐角，故命题①正确；②如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴HG∥EF，HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；综上：错误的命题个数为1．

16. A 【解析】∵AB∥CD，∠D＝32°，∴∠BAD＝∠D＝32°，∵DA⊥CE，∴∠EAD＝∠CAD＝90°，∴∠EAB＝90°－32°＝58°.
17. C 【解析】∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠CFG，∠CFE＝∠＝130°，∵FG平分∠CFE，∴∠CFG＝∠EFG＝∠CFE＝65°，∴∠EGF＝65°．
18. 两个角相等 这两个角的余角相等 【解析】“等角的余角相等”的题设是：两个角相等，结论是：这两个角的余角相等．故写成：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等．
19. 同位角相等 【解析】命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”的结论是同位角相等．
20. 13°55′ 【解析】∠1－∠2＝52°45′－38°50′＝51°105′－38°50′＝13°55′.
21. ∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3＋∠4＝180° 【解析】∵∠1＝∠4或∠2＝∠4或∠3＋∠4＝180°，∴a∥b．
22. 60° 【解析】∵BD，BE为折痕，∴BD，BE分别平分∠CBC′，∠ABA′∴∠A′BE＝∠ABE＝30°，∠DBC＝∠DBC′，∵∠A′BE＋∠ABE＋∠DBC＋∠DBC′＝180°，∴∠ABE＋∠DBC＝90°，∴∠DBC＝60°．
23. 7或17 【解析】分两种情况：①当EF在AB，CD之间时，如图1，∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，∴EF与AB的距离为12－5＝7(cm)．②当EF在AB，CD同侧时，如图2，∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，∴EF与AB的距离为12＋5＝17(cm)．综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．

图1 图2
24. 解：(1)设AC长为x，因为点C分线段AD为1：3，所以CD＝3x，因为点D是线段CB的中点，所以BD＝3x，因为AD＝8，AC＋CD＝AD，即x＋3x＝8得x＝2；
(2)AB＝AC＋CD＋BD＝x＋3x＋3x＝7x＝14. 答：线段AC长为2，AB长为14．
25. 解：(1)∵AC＝6cm，BC＝4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，∴MN＝(AC＋CB)＝×10＝5cm.　
(2)MN＝，直线上相邻两线段中点间的距离为两线段长度和的一半．
(3)如图，有变化，会出现两种情况：①当点C在线段AB上时，MN＝(AC＋BC)＝5cm；②当点C在AB或AB的延长线上时，MN＝(AC－BC)＝1cm.

26. 解：(1)∵AM∥BN，∴∠A＋∠ABN＝180°，又∵∠A＝60°，∴∠ABN＝120°，∵BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠PBD＝∠PBN，∴∠CBD＝∠ABP＋∠PBN＝∠ABN＝60°.　
(2)∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，又∵∠PBD＝∠DBN，∴∠APB＝2∠DBN，∴∠APB＝2∠ADB.　
(3)∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，又∵∠ACB＝∠ABD，∴∠CBN＝∠ABD，∴∠CBN－∠CBD＝∠ABD∠CBD，∴∠DBN＝∠ABC，又∵∠CBD＝60°，∠ABN＝120°，∴∠ABC＝30°.