2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题19简单几何体复习与检测

这是一份2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题19简单几何体复习与检测，共14页。试卷主要包含了概括出棱柱，培养抽象概括，认识几何学和空间结合体等内容，欢迎下载使用。

专题19简单几何体复习与检测


学习目标
1、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征，
2、培养抽象概括、归纳的能力，
3、认识几何学和空间结合体
知识梳理
重点1
空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。
重点2
几种空间几何体的结构特征
1 棱柱的结构特征
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的分类
棱柱的性质








图1-1 棱柱



⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
长方体的性质
⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12
⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成的角分别是α、β、γ，那么：
cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：
cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1




图1-2 长方体


棱柱的侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
棱柱的面积和体积公式
S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长，h为棱柱的高)
S直棱柱全 = c·h+ 2S底
V棱柱 = S底 ·h

重点3
棱台的结构特征
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
正棱台的结构特征
⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；
⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。
正棱台的面积和体积公式
S棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a为上底边长，b为下底边长，h’为棱台的斜高，n为边数)
S棱台全 = S上底 + S下底 + S侧
V棱台 =


重点4
空间几何体的视图
1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)
⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。
2 直观图
直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
.斜二测法做空间几何体的直观图
⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；
⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平面；
⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x轴的线段保持长度不变；平行于y轴的线段长度减半。
结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形的
例题分析
例1.正三棱锥P－ABC底面边长为2，M为AB的中点，且PM⊥PC，则三棱锥P－ABC外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

由图，设，则，而，
因为PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，
由对称性可知：三棱锥P－ABC外接球的球心在三棱锥P－ABC的高PD上，
假设为O点，则，因为,
所以，
又由于点D是三角形ABC的外心，且三角形ABC为等边三角形，
所以,
在三角形ODC中，由勾股定理得,
即，
解得，
所以三棱锥P－ABC外接球的体积为.
故选：C
例2．取两个相互平行且全等的正边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示，设上、下正六边形的中心分别为，，连接，
则其中点即为所求外接球的球心，
连接，取棱的中点，作于点，
连接，，则，
而，则，
所以，则，
连接，，
设所求外接球的半径为，则有，
所以该六角反棱柱外接球的表面积.
故选：B.

跟踪练习
1．半径为1的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，M是侧棱PC的中点，若过AM作该正四棱锥的截面，分别交棱PB､PD于点E､F(可与端点重合)，则四棱锥的体积的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
3．若一个圆柱的底面直径和高相等，表面积记为，一个球的表面积记为，，则这个圆柱跟这个球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）．
A． B． C． D．
5．若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形，则其侧面积等于（ ）

A． B． C． D．
6．在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，，
，则该球体积V的最大值是
A． B． C． D．
7．已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足．

（1）求四面体的体积；
（2）请计算：
①直线与所成角的大小；
②直线与平面所成的角的大小．
8．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．

（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
9．如图，已知圆锥底面圆的半径，直径与直径垂直，母线与底面所成的角为.

（1）求圆锥的侧面积；
（2）若为母线的中点，求二面角的大小(结果用反三角函数值表示).
10．已知正方体的棱长为，点是侧面的中心.

（1）连接，求三棱锥的体积的数值；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

参考答案
1．D
【详解】
半径为1的球的表面积为
故选：D
2．D
【详解】
设,则
所以，
，
，
所以，则，
令，因为，
所以，
所以，
所以，
故选：D
3．C
【详解】
设圆柱的底面半径为，则高为，设球半径为，
，，
，，
则这个圆柱跟这个球的体积之比为.
故选：C.
4．B
【详解】
如图，恢复后的原图形为一直角梯形，

所以.
故选：B.
5．C
【详解】
如图所示：画出正三棱柱的立体图形，底面棱长为，高为
故侧面积为：
故选：

6．B
【解析】
试题分析：设的内切圆半径为，则，故球的最大半径为，故选B.
考点：球及其性质.

7．（1）；（2）①；②（或）．
【详解】
（1）由已知，有，，


又由已知，有
因为，所以平面，即是三棱锥的高，
所以
（2）分别以、、为坐标轴建立空间直角坐标系．


则有，，，，
，，
①设与所成角的大小为，
则．
故，与所成角的大小为．
②设为平面的一个法向量，
则即
令，得．

故与平面所成的角为（或）．
8．（1）；（2）证明见解析．
【详解】
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
9．（1）；（2）.
【详解】
（1）由母线与底面所成的角为，
又因为，所以 所以

（2）由.联结，因为垂直圆所在的平面，圆所在的平面，
所以，
又因为，所以平面.
因为平面，所以，又，
所以为二面角的平面角.
在中，，，
所以，
二面角的大小为.
10．（1）；（2）.
【详解】
（1）正方体的棱长为，点是侧面的中心，

，
平面，；
（2）在正方体中，，
就是异面直线与所成的角（或补角），
平面，平面，所以，.
，所以，，即.
所以，异面直线与所成的角的大小是.