2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测

这是一份2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题17复数复习与检测，共9页。试卷主要包含了会利用1的平方根求复数的立方根，会求复数的模的最大值与最小值等内容，欢迎下载使用。
学习目标
1.掌握复数的有关概念，理解复平面的有关概念，
2.会进行复数的四则运算法则，会求复数的平方根，
3.会利用1的平方根求复数的立方根。会求复数的模，
4.会计算两个复数的积、商、与乘方的模，掌握结论的结论，
5.会求复数的模的最大值与最小值。
6.会在复数集内解实系数一元二次方程。
知识梳理
重点1
复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d实部与实部、虚部与虚部对应相等共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)实数的共轭复数是它本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模|z|＝|a＋bi|＝ 复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 运算名称符号表示语言叙述加减法z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i把实部、虚部分别相加减乘法z1· z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i按照多项式乘法进行，并把i2换成－1除法＝＝＝＋i(c＋di≠0)把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算 (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．模的运算性质：①|z|2＝||2＝z·；②|z1·z2|＝|z1||z2|；③＝.重点2
实系数的一元二次方程：设一元二次方程为（、、且）。因为，所以原方程可以变形为。配方得，，即。（1）若，即，此时方程有两个不相等的实数根；（2）若，即，此时方程有两个相等的实数根；（3）若，即，方程没有实数根。因为的平方根是，此时方程有两个不相等的虚数根。因此，实系数一元二次方程在复数集中恒（仅）有两解。特别地，当时，实系数一元二次方程（、、且）在复数集中有一对互相共轭的虚数根。注：虚根成对定理若虚数是实系数一元（）次方程（）的根，那么也是这个方程的根。例题分析
例1．已知，则“”是“z为纯虚数”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【详解】为纯虚数，是错的，比如，z不是纯虚数，故充分性不成立；z为纯虚数，故必要性成立；故答案选：B例2．复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的个数为（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】设,因为,所以,所以将代入方程整理，因为关于的方程有实根，所以所以当时，解得，此时关于的方程为或，易知方程无实数根，故舍去，所以；当时，解得，，所以，所以，此时方程有实数根，满足条件.综上，或.故这样的复数的个数为个.故选：C跟踪练习1．若复数z满足(z-1)i=1+i其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数=（    ）A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i2．(2+i)-(1+2i)=  （    ）A． B． C． D．3．已知复数，i为虚数单位，则为（    ）A． B． C． D．4．已知复数z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)为纯虚数，则a=（    ）A． B． C． D．5．设复数z满足|z﹣1|=1，则z在复平面内对应的点为(x，y)，则（    ）A．(x+1)2+y2=1 B．(x﹣1)2+y2=1C．x2+(y﹣1)2=1 D．x2+(y+1)2=16．已知为虚数单位，复数，则（    ）A． B． C． D．7．已知复数，，为纯虚数，求复数．8．若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数．9．设，．（1）求证：是纯虚数；（2）求的取值范围．10．数，若，求

参考答案1．D【详解】因为(z-1)i=1+i，所以，所以.故选：D.2．A【详解】(2+i)-(1+2i)= (2-1)+(1-2) i =故选：A3．B【详解】，.故选：B4．A【详解】解：复数z=1+ai(a∈R)，则z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2-3a)+(2a+3)i，由纯虚数的定义知，，解得故选：A.5．B【详解】解：设z=x+yi(x，y∈R)，由|z﹣1|=1，得|(x﹣1)+yi|=1.∴ (x﹣1)2+y2=1.故选：B.6．B【分析】利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得.【详解】，，则.故选：B.7．或【详解】设，由则， 则，且 即，解得或，即或，所以或8．是以为圆心，为半径的圆．最大时，．【详解】设复数，则 化简可得，复数在复平面上对应的点的轨迹图形是以为圆心，为半径的圆．如图，由图形可知，当时，最大.9．（1）证明见解析 ；（2） .【详解】（1）由题意可得，所以，，，则，因此，是纯虚数；（2），所以，，因为，则，解得，，则，所以，，因此，.10．【详解】，则，当时，；当时，．