2022届高考数学二轮专题复习19函数的性质

函数的性质

1．函数的单调性

1．设实数，，，那么的大小关系为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，，，

令，，

，

令，，

在上是减函数，，

在上是减函数，

又，，即，故选C．

2．若，则一定有（）

A． B．

C．  D．

【答案】C

【解析】令，则单调递增，

当时，，则存在，使得，

则时，，此时单调递减；

时，，此时单调递增，

若，但无法确定处在还是内，

故大小关系不定，即大小不定，即大小关系不定，故A，B不正确；

令，则，

当0<x<1时，，故f(x)在(0，1)上单调递减，

因为，所以，即，所以，

故选C．

3．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，则，，的大小关系是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为且，有，

所以函数在上单调递增，

由为偶函数，得函数在上单调递减，

因为，，

所以，即，故选A．

4．若对任意的，且，都有成立，

则m的最小值是（）

A．1 B． C． D．

【答案】C

【解析】由函数定义域得，假设，

因为，所以，

两边同除整理得，

构造函数，则单调递减，，

令，得，

当时，，所以在单调递减，

所以，所以m的最小值是，故选C．

2．函数的奇偶性

1．函数是定义域为的偶函数，当时，，

若，则（）

A．e B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可知，则，得，

∴，∴，故选C．

2．已知函数是偶函数，则（）

A．， B．， C．， D．，

【答案】C

【解析】由题意可得，

因为是偶函数，所以，

即，即，

所以，

由于，故，

所以，，故选C．

3．已知函数为偶函数，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由已知得，当时，则，即，，

∵为偶函数，∴，即，

∴，，

∴，故选B．

4．函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】因为，定义域为，

又，，

所以函数是偶函数，D错误；

令，则，A错误；

令，则，C错误；

故选B．

5．已知函数，若，则（）

A．1 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】根据题意，即，

所以，

故选D．

6．已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于（）

A．0 B．10 C． D．

【答案】C

【解析】令，则，

∴f(x)和g(x)在上单调性相同，

∴设g(x)在上有最大值，有最小值．

∵，

∴，

∴g(x)在上为奇函数，∴，

∴，，∴，

，故选C．

7．已知是奇函数，则下列等式成立的是（）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】是奇函数，

则有，即，

故选项A判断正确；选项B判断错误；

把函数的图象向左平移1个单位长度再向下平移1个单位长度，可以得到函数的图象，

则由函数有对称中心，可知函数有对称中心．

选项C：由，可得函数的周期为2．判断错误；

选项D：由，可得函数有对称轴．判断错误，

故选A．

8．设函数定义域为R，若，都为奇函数，则下面结论成立的是（）

A．为奇函数  B．为偶函数

C．  D．为奇函数

【答案】D

【解析】因为，都为奇函数，即关于和对称，

所以，，所以，

所以，

因为，所以，

即，所以为奇函数，故选D．

9．已知函数，则（）

A．2020 B．2021 C．4041 D．4042

【答案】C

【解析】由题意得：

，关于中心对称，

，

，

又，，故答案为C．

10．已知函数，给出下列四个命题：

（1）在定义域内是减函数；

（2）是非奇非偶函数；

（3）的图象关于直线对称；

（4）是偶函数且有唯一一个零点．

其中真命题有___________．

【答案】（1）（4）

【解析】函数可看成函数与函数的复合函数，

（1）函数在R上是增函数，函数在上是减函数，故在定义域内是减函数，真命题；

（2），且，故是奇函数，假命题；

（3），，若，则，假命题；

（4）是奇函数，则是偶函数，且当时，在上是增函数，故，函数有唯一一个零点0，真命题，

故答案为（1）（4）．

3．函数的周期性

1．函数的定义城为R，且，当时，，则（）

A． B．2 C．1 D．

【答案】A

【解析】因为，所以的周期为3，

所以，故选A．

2．已知是定义域为R且周期为2的函数，当时，，则（）

A． B． C． D．1

【答案】D

【解析】∵的周期为2，则，

又，

∴，，

故，故选D．

3．已知是定义在R上的奇函数，，且，则（）

A．2 B． C．4 D．

【答案】B

【解析】，∴，

所以函数的周期为，

则，∴，

，

，，

故选B．

4．若函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则（）

A．0 B．2 C．4 D．

【答案】D

【解析】∵是定义在上的奇函数，∴，

又在上的周期为2，

∴，，

∴，故选D．

5．已知函数为定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）

A．0 B．1 C．2 D．2021

【答案】B

【解析】因为是奇函数，为偶函数，所以，

所以的周期为4，

，故选B．

6．已知是定义在上的奇函数，且对任意都有，若，则（）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】A

【解析】令，则，得，

所以，

因为是定义在上的奇函数，所以，

所以，

所以，所以，所以的周期为8，

所以，故选A．

7．定义在正整数上的函数满足，则（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】①

，

②

由①②可得，

，，

所以函数的周期，，

故选C．

8．已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的个数是（）

①；②；③；④．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】因为是偶函数，所以，

令，则，故，

所以，即，

所以函数关于直线对称，

因为是奇函数，所以，且函数关于对称，

又因函数是由函数向右平移1个单位得到，

所以关于对称，所以，所以，

所以，则，

即，所以函数的一个周期为，

故有，故①正确；

由函数关于直线对称，，所以，

所以，故②正确；

因为，

因为关于对称，所以，

所以，故③正确；

又，故④正确，

所以正确的个数为4个，故选D．

4．函数性质综合

1．函数满足，函数的图象关于点对称，则（）

A． B． C． D．0

【答案】D

【解析】∵关于对称，

∴关于对称，即是奇函数，

令，得，即，解得，

∴，即，

∴，即函数的周期是12，

∴，故选D．

2．定义域为R的偶函数在上单调递减，当不等式成立时，实数a的取值范围是（）

A．或  B．或

C．  D．

【答案】B

【解析】因为为R上的偶函数，则等价于，

又因为在上单调递减，所以，

两边平方得，则且，得或，

故选B．

3．已知函数，则不等式的解集为（）

A．  B．

C．  D．

【答案】D

【解析】因为，，且，

所以是偶函数．

因为，

当时，，所以在上单调递增．

又因为是偶函数，所以在上单调递减．

所以，即，

所以，即，解得或，

故选D．

4．已知，，则不等式的解集是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，（当且仅当时等号成立）

则是上单增函数，

又，

即，则为上奇函数，

故原不等式转化为，即，即，

故选A．

5．已知函数，则不等式的解集是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】的定义域满足，

由，所以在上恒成立，所以的定义域为，

，

则

，

所以，即为奇函数．

设，由上可知为奇函数．

当时，，均为增函数，则在上为增函数，

所以在上为增函数．

又为奇函数，则在上为增函数，且，

所以在上为增函数．

又在上为增函数，在上为减函数，

所以在上为增函数，故在上为增函数，

由不等式，即，

所以，则，故选B．

6．已知函数，则不等式的解集为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，函数，

设，则有，解可得，

即函数的定义域为，关于原点对称，

又由，即函数为奇函数，

设，则，

，在上为增函数，而在上为增函数，

故在区间上为增函数，

，解可得，

即不等式的解集为，故选C．

7．设函数，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】由题意得的定义域为，

因为，所以是偶函数．

当时，，单调递增；

当时，单调递减．

又，，

则有或，解得或，

故答案为．

8．已知函数为奇函数，且，当时，，给出下列四个结论：

①图象关于对称；

②图象关于直线对称；

③；

④在区间单调递减，

其中所有正确结论的序号是_______．

【答案】①②④

【解析】函数为奇函数得，

所以图象关于对称；

因为，

所以，

所以根据周期性得图象关于对称，①正确；

因为，所以，即，所以，即图象关于直线对称，②正确；

所以，所以③不正确；

因为当时，，为单调递增函数，

因为图象关于直线对称，在上单调递减，

所以由周期性得在区间单调性与上的单调性相同，

所以在区间单调递减，④正确，

所以，正确题目的顺序号为①②④，