2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题21二项式定理复习与检测

学习目标
1、二项式定理的基本概念与展开式
2.二项式系数的性质
知识梳理
1、二项式定理：

2、几个基本概念

（1）二项展开式：右边的多项式叫做的二项展开式

（2）项数：二项展开式中共有项

（3）二项式系数：叫做二项展开式中第项的二项式系数

（4）通项：展开式的第项，即

3、展开式的特点

（1）系数  都是组合数,依次为C,C,C,…,C

(2)指数的特点①a的指数 由n       0( 降幂)。                                   

          ②b的指数由0       n（升幂）。

          ③a和b的指数和为n。

  (3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。

4、二项式系数的性质：

（1）对称性:

在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.即

（2）增减性与最值

     二项式系数先增后减且在中间取得最大值

当是偶数时，中间一项取得最大值

当是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=

（3）二项式系数的和：

奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.

例题分析
例1．已知的展开式中含项的系数为-2，则实数（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2

【答案】A

【详解】

展开式的通项公式为，当时，；当时，，∴的展开式中含项的系数为，解得，

故选：A.

例2．的展开式中的系数为（    ）

A．12 B．60 C．72 D．720

【答案】C

【详解】

因为，

所以的展开式中的系数为，

故选：C.
跟踪练习

1．用表示个实数的和，设，，其中，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．的展开式中的系数是（    ）

A．－20 B．－5

C．5 D．20

3．的展开式中x3y3的系数为（    ）

A．5 B．10

C．15 D．20

4．在的展开式中，的系数等于

A．280 B．300 C．210 D．120

5．设，则的值为

A． B． C． D．

6．若，则

A． B．1 C．0 D．

7．（1）在的二项展开式中的系数为，求实数的值；

（2）若，求.

8．已知各项均为不为零的数列满足，前项的和为，且，，，数列满足，.

（1）求，；

（2）求；

（3）设有穷数列，的前项和为，是否存在，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

9．在二项式的展开式中.

（1）若前3项的二项式系数和等于67，求二项式系数最大的项；

（2）若第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，求奇次项系数和.

10．已知的二项展开式中，第三项的系数为7.

（1）求证：前三项系数成等差数列；

（2）求出展开式中所有有理项（即的指数为整数的项）.

参考答案

1．B

【详解】

解：∵ ，∴ ，

∴

，

∴  ，

又 ∵ ，∴

∴ .

故选：B.

2．A

【详解】

由二项式定理可知：；

要求的展开式中的系数，

所以令，则；

所以的展开式中的系数是是-20.

故选：A.

3．C

【详解】

展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

4．D

【详解】

解：在的展开式中，项的系数为

．故选D．

5．B

【详解】

，其中.故

，在展开式中令，则有

，故选B.

6．D

【详解】

分析：根据题意求各项系数和，直接赋值法令x=-1代入即可得到.

详解：已知，根据二项式展开式的通项得到第r+1项是，故当r为奇数时，该项系数为负，故原式令x=-1代入即可得到.

故答案为D.

7．（1）；（2）.

【详解】

（1）的二项展开式通项为：

当，即时，

又的系数为    ，解得：

（2）令得：……①

令得：……②

①②得：

8．（1）2、3；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【详解】

（1）由题意，，

又数列各项均为不为零，所以，

因为，所以，；

所以，；

（2）由（1）得，

所以，即，

当且为奇数时，

，

满足上式，

当为偶数时，为奇数，则；

所以；

（3）由（2）知，

，符合上式，

因为，

所以

，

则，所以为奇数，

所以不存在，使得成立.

9．（1），；（2）.

【详解】

（1）在二项式的展开式中，前3项的二项式系数和为，

化简为，解得或（舍），二项式为，展开式共有12项，

则展开式中二项式系数最大的项为第6和第7项，和.

（2）当第3项的二项式系数等于第18项的二项式系数，得，计算得，二项式为.

在中，

令，则，①

令，则，②

①+②得，奇次项系数和为.

10．（1）证明见解析；（2）；；.

【详解】

解：（1）

∵，（负值舍去）

所以前三项分别为，，

所以前三项系数分别为1，4，7，前三项系数成等差数列.

（2），

∴，展开式中的指数为整数，

所以展开式中所有有理项为：、、.