(新高考)高考数学一轮复习第19讲《导数的应用——利用导数研究函数零点问题》达标检测(解析版)

《导数的应用——利用导数研究函数零点问题》达标检测

[A组]—应知应会

1．（春•海淀区校级期末）已知函数有最小值，则函数的零点个数为　　

A．0． B．1 C．2 D．不确定

【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质判断即可．

【解答】解：，

若函数有最小值，

则不能恒大于等于0，

故存在使得，

即有2个不相等的实数根，

即函数的零点个数为2个，

故选：．

2．（春•辽宁期末）函数在上有两个零点，，且，则实数的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】函数，变形为，令，利用导数求最值，可得．结合，可得时，取得最小值．再把，代入，求解，再代入，即可求得的最小值．

【解答】解：函数，变形为，

令，得，

当时，，当时，，

可得时，函数取得最小值．

又当时，，当时，，

且函数在上有两个零点，，

得．

由，可得时，取得最小值．

由，，得，

，解得．

代入，解得．

的最小值为．

故选：．

3．（•包头二模）已知函数是定义在上连续的奇函数，且当时．，则函数的零点个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】分析可得为上连续的奇函数，且在上为增函数，说明函数只有1个零点，可得选项．

【解答】解：，函数是定义在上连续的奇函数，

则函数，其定义域为，

则，则为上连续的奇函数，

，则，

又由当时，，则有，即函数为上的增函数，

又由为上连续的奇函数，且，

则为上的增函数，

故函数只有1个零点，

故选：．

4．（•武汉模拟）已知函数在无零点，则实数的取值范围为　　

A． B．， C．， D．，，

【分析】函数在无零点，可转化为无正实数根，研究函数的值域，只要在值域之外取值即可．

【解答】解：函数在无零点，显然不是函数的零点．故问题可转化为无正实数根，

令，，，

令得，当，，时，，故在上递减；当时，，递增．

又时，；时，；时，．；，．

作出函数与的图象：

可知，当介于轴（包括轴）与点之间时，原函数在上无零点．

故即为所求．

故选：．

5．（•湖北模拟）已知存在唯一零点，则实数的取值范围　　

A． B． C． D．

【分析】先由题设条件得到，再研究的奇偶性，把问题转化为当时，函数无零点．利用放缩法与单调性求出的取值范围．

【解答】解：由题意知，存在唯一零点，只有一个零点0．

，是奇函数，故只考虑当时，函数无零点即可．

当时，有，．

令，，则，

，，

，在上单调递增，

，．

故选：．

6．（•临汾模拟）若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】原问题等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，分离参数可得有且只有一个实根，然后构造函数，结合导数分析函数的特征，结合图象可求．

【解答】解：函数有且只有一个零点，等价于关于的方程有且只有一个实根．显然，

方程有且只有一个实根．

设函数，则．

设，，为增函数，

又（1）．

当时，，为增函数；

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；在时取极小值1．

当趋向于0时，趋向于正无穷大；当趋向于负无穷大时，

趋向于负无穷大；又当趋向于正无穷大时，

趋向于正无穷大．图象大致如图所示：

方程只有一个实根时，实数的取值范围为，

故选：．

7．（2019•兰州模拟）已知函数，当时，函数的零点个数为　 　．

【分析】通过导函数的符号判断函数的单调性，通过零点判断定理转化求解即可．

【解答】解：函数，可得，

时，，函数是减函数，（1），，

所以函数函数，当时，函数的零点个数为1．

故答案为：1．

8．（•济南二模）已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是　　    ．

【分析】先对求导，根据的范围研究的符号，判断的单调性，结合有两个零点，求出的取值范围．

【解答】解：由题知：，．①当时，，单调递增，至多有一个零点，不合题意；

②当时，令，易知在单调递减，在单调递增，故的最小值为

．

有两个零点，当时，，

，解得

故答案为：．

9．（春•贵池区校级期中）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为　　      ．

【分析】构造函数，利用函数的图象，通过函数的导数，求出切线的斜率，然后推出的范围．

【解答】解：函数有3个零点，

就是有3个解，也就是与的图象有3个交点，

显然，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，如图：

设切点，则，，可得，解得，

所以直线与指数函数相切时，，

函数有3个零点，可得．

故答案为：．

10．（•盐城三模）设函数，若函数与函数都有零点，且它们的零点完全相同，则实数的取值范围是　　     ．

【分析】由题意可求，所以函数，当时，易得符合题意，当时，函数，有两个零点，，由，得和，所以方程无解，利用△即可求出的取值范围．

【解答】解：设零点为，则，，

，，

函数，

①当时，函数，，都有唯一零点，符合题意；

②当时，函数，有两个零点，，

此时，得和，

已满足有两个相同的零点，，

方程无解，即方程无解，

△，

解得：，

综上所述，实数的取值范围是：，

故答案为：，．

11．（春•新华区校级期中）设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围　　         ．

【分析】首先，画出函数的图象，然后，借助于图象，结合在区间上有三个零点，进行判断．

【解答】解：函数的图象如图示：

当时，显然，不满足题意．

当时，如图所示，

当，时，存在一个零点，

当时，，

可得，

，

若，可得，为减函数，

若，可得，为增函数，

此时必须在上有两个零点，

即，

 解得，，

在区间上有三个零点时，

，

故答案为：．

12．（春•烟台期末）已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若函数有3个零点，求的取值范围．

【分析】（1）求导得，令得或，列表格分析随着变化，变化情况，进而得出极值．

（2）由（1）可知要使得函数有3个零点，只需，进而解出的取值范围．

【解答】解：（1），

令，解得或，

则随着变化，变化情况如下表：

所以，当时，取得极大值，当时，取得极小值．

（2）要使得函数有3个零点，

只需，解得．

13．（•新课标Ⅲ）设函数，曲线在点，处的切线与轴垂直．

（1）求；

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【分析】（1）求出原函数的导函数，由题意可得，由此求得值；

（2）设为的一个零点，根据题意，，且，得到，由，对求导数，可得在，上的单调性，得到．设 为的零点，则必有，可得，由此求得的范围得答案．

【解答】（1）解：由，得，

，即；

（2）证明：设为的一个零点，根据题意，，且，

则，由，

令，

，

当，，时，，当，时，

可知在，，上单调递减，在，上单调递增．

又，（1），，，

．

设 为的零点，则必有，

即，

，得，

即．

所有零点的绝对值都不大于1．

14．（2019•新课标Ⅰ）已知函数，为的导数．证明：

（1）在区间存在唯一极大值点；

（2）有且仅有2个零点．

【分析】（1）的定义域为，求出原函数的导函数，进一步求导，得到在上为减函数，结合，，由零点存在定理可知，函数在上存在唯一得零点，结合单调性可得，在上单调递增，在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当时，，单调递减；当时，，单调递增；由于在，上单调递减，且，，可得函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，当，时，单调递增；当时，单调递减．当，时，单调递减，再由，．然后列，与的变化情况表得答案．

【解答】证明：（1）的定义域为，

，，

令，则在恒成立，

在上为减函数，

又，，由零点存在定理可知，

函数在上存在唯一的零点，结合单调性可得，在上单调递增，

在，上单调递减，可得在区间存在唯一极大值点；

（2）由（1）知，当时，单调递增，，单调递减；

当时，单调递增，，单调递增；

由于在，上单调递减，且，，

由零点存在定理可知，函数在，上存在唯一零点，结合单调性可知，

当，时，单调递减，，单调递增；

当时，单调递减，，单调递减．

当，时，，，于是，单调递减，

其中，

．

于是可得下表：

结合单调性可知，函数在，上有且只有一个零点0，

由函数零点存在性定理可知，在，上有且只有一个零点，

当，时，，则恒成立，

因此函数在，上无零点．

综上，有且仅有2个零点．

15．（•沙坪坝区校级模拟）已知函数，，，是自然对数的底数）．

（1）若，讨论函数在上的零点个数；

（2）设，点是曲线上的一个定点，实数，为的导函数．试比较与的大小，并证明你的结论．

【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可；

（2）代入的值，原不等式等价于，不妨设，，原不等式等价于，两边同除以得到，即

令，根据函数的单调性证明结论即可．

【解答】解：（1）若，则，

所以：，易知，

因为，所以在上单调递增，

所以：，单调递减，，

单调递增，，

所以函数在上的零点个数为0               （4分）

（2）

证明：，则

所以，

，

，

原不等式等价于，等价于（7分）

不妨设，，原不等式等价于

两边同除以得到，即

令，则

令对恒成立，

在单调递增，因为，

所以对恒成立，所以

16．（春•未央区校级月考）已知函数有两个零点，．

（1）求实数的取值范围；

（2）求证：．

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，由时，，时，，即对任意，存在，满足．

再由当时，．可得函数有两个零点的充要条件为，即，化简得的范围；

（2）函数有两个零点，，可得，，联立可得，把证转化为证，不妨设，则转化为．令，即证，．令，求导即可证明，故结论成立．

【解答】（1）解：．

由，解得，由，解得，

函数在上单调递增，在，上单调递减．

当时，，，

当时，，．

令，，则．

故．

，．

综上，对任意，存在，满足．

另一方面，当时，．

因此，函数有两个零点的充要条件为．

即，化简得：，

故的范围为；

（2）证明：函数有两个零点，，

，，

，即．

要证，即证．

不妨设，则．

令，即证，．

令，则．

（1），即，

即．

 [B组]—强基必备

1．（•全国三模）已知函数有两个零点，，且则下列结论中不正确的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】求出原函数的导函数，可知当时函数有极小值，求出极小值，再由极小值小于0求解的范围判断；分析函数两零点大于0，代入原函数，可得，，得到判断；由，设，则，为的两个零点，利用导数求解的范围与的范围判断与．

【解答】解：，

当时，在上恒成立，此时在上单调递减，不合题意；

当时，由，解得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，单调减区间为，单调增区间为，

可知当时，函数取得极小值为，

又当时，，时，，

要使函数有两个零点，则，得，故正确；

由，极小值点，

可得．

，是的两个零点，，．

可得，．

故，故错误；

由，

设，则，为的两个零点，

，得在上单调增，在上单调减，

，故正确；

设，，

则，

恒成立，则在上单调增，

（1），

，即，得．

又在上单调减，，，

，即，故正确．

综上，错误的结论是．

故选：．

2．（•绵阳模拟）若函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围　　      ．

【分析】分离参数，先证明；解得：；由于函数有且仅有一个零点；设，；所以直线与函数有且只有一个交点；研究函数的图象特点及单调性，画出大致图象，即可得出结果．

【解答】解：令，；则，时，；时，；

于是在上递减，在上递增；最小值为（1），

，；

由，即，解得：；

设，；

由于函数有且仅有一个零点；

所以直线与函数有且只有一个交点；

由，此时不能完全判断导函数值的正负；

再令，

得，当时，；当时，；

于是，在上递减，上递增．

那么（2）．

由此，的正负只同有关，

由此得在上递减，在上递增，且的极小值为（1）；

又时，；时，；

图象大值如图所示，

结合的图象，得或．

故答案为：或．

3．（•浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；

（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：

（ⅰ）；

（ⅱ）．

【分析】（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．

（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．

要证明，只需证明，只需证，由此能证明．

【解答】证明：（Ⅰ），恒成立，

在上单调递增，

，（2），又，

函数在上有唯一零点．

（Ⅱ），，

，，

令，，，

一方面，，，

，在单调递增，

，

，，

另一方面，，，

当时，成立，

只需证明当时，，

，，，

当时，，当时，，

，（1），，（1），

，在单调递减，

，，

综上，，

．

要证明，只需证，

由得只需证，

，只需证，

只需证，即证，

，，

，

．