高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练6.3《基本不等式》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练6.3《基本不等式》(教师版)，共5页。试卷主要包含了下列不等式一定成立的是等内容，欢迎下载使用。

1．若f(x)＝eq \f(1,x－1)＋2x(x>1)，则f(x)的最小值为( )
A．2 eq \r(2) B．2 eq \r(2)＋1
C．2 eq \r(2)－2 D．2 eq \r(2)＋2
解析：因为f(x)＝eq \f(1,x－1)＋2x＝eq \f(1,x－1)＋2(x－1)＋2，又x>1，即x－1>0，
所以f(x)≥2 eq \r(\f(1,x－1)×2x－1)＋2＝2 eq \r(2)＋2，当且仅当eq \f(1,x－1)＝2(x－1)，即x＝1＋eq \f(\r(2),2)时等号成立．所以f(x)的最小值为2 eq \r(2)＋2.故选D.
答案：D
2．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为( )
A．3 B．4
C.eq \f(9,2) D.eq \f(11,2)
解析：因为x＋2y＋2xy＝8.
所以y＝eq \f(8－x,2x＋1)>0，即－1所以x＋2y＝x＋2·eq \f(8－x,2x＋1)＝x＋1＋eq \f(9,x＋1)－2≥2 eq \r(9)－2＝4，
当且仅当x＋1＝eq \f(9,x＋1)，即x＝2，y＝1时，等号成立．
故x＋2y的最小值是4.
答案：B
3．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 eq \r(ab) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(1, \r(ab))
C.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当a＝b时取等号．
答案：C
4．下列不等式一定成立的是( )
A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))>lg x(x>0)
B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.eq \f(1,x2＋1)>1(x∈R)
解析：对选项A，当x>0时，x2＋eq \f(1,4)－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2≥0，∴lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,4)))≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0答案：C
5．若实数a，b满足eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，则ab的最小值为( )
A.eq \r(2) B．2
C．2 eq \r(2) D．4
解析：法一：由已知得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(b＋2a,ab)＝ eq \r(ab)，且a>0，b>0，
∴ab eq \r(ab)＝b＋2a≥2 eq \r(2) eq \r(ab)，∴ab≥2 eq \r(2).
法二：由题设易知a＞0，b＞0，
∴eq \r(ab)＝eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)≥2 eq \r(\f(2,ab))，即ab≥2eq \r(2)，故选C.
答案：C
6．当x>0时，函数f(x)＝eq \f(2x,x2＋1)有( )
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
解析：f(x)＝eq \f(2,x＋\f(1,x))≤eq \f(2,2 \r(x·\f(1,x)))＝1.当且仅当x＝eq \f(1,x)，x>0即x＝1时取等号．所以f(x)有最大值1.
答案：B
7．(南昌调研)已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是( )
A．a＋b≥2 eq \r(ab) B．a2＋b2>2ab
C.eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2 D．|eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)|≥2
解析：对于A，当a，b为负数时，a＋b≥2 eq \r(ab)不成立；
对于B，当a＝b时，a2＋b2>2ab不成立；
对于C，当a，b异号时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2不成立；
对于D，因为eq \f(b,a)，eq \f(a,b)同号，所以|eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)|＝|eq \f(b,a)|＋|eq \f(a,b)|≥2 eq \r(|\f(b,a)|·|\f(a,b)|)＝2(当且仅当|a|＝|b|时取等号)，即|eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)|≥2恒成立．
答案：D
8．(天津模拟)若lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 eq \r(3) B．7＋2 eq \r(3)
C．6＋4 eq \r(3) D．7＋4 eq \r(3)
解析：因为lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，所以lg4(3a＋4b)＝lg4(ab)，即3a＋4b＝ab，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a＋4b>0，,ab>0，))即a>0，b>0，所以eq \f(4,a)＋eq \f(3,b)＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)·(eq \f(4,a)＋eq \f(3,b))＝7＋eq \f(4b,a)＋eq \f(3a,b)≥7＋2 eq \r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4 eq \r(3)，当且仅当eq \f(4b,a)＝eq \f(3a,b)时取等号，故选D.
答案：D
9．若直线eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为__________．
解析：由题设可得eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝1，∵a>0，b>0，∴2a＋b＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)＋2≥4＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(b,a)＝\f(4a,b)，即b＝2a时，等号成立)).
故2a＋b的最小值为8.
答案：8
B组 能力提升练
10．(山东名校调研)若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：由3x＋y＝5xy，得eq \f(3x＋y,xy)＝eq \f(3,y)＋eq \f(1,x)＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·eq \f(1,5)(eq \f(3,y)＋eq \f(1,x))＝eq \f(1,5)(4＋9＋eq \f(3y,x)＋eq \f(12x,y))≥eq \f(1,5)(4＋9＋2 eq \r(36))＝5，当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(12x,y)，即y＝2x时，“＝”成立，故4x＋3y的最小值为5.
答案：D
11．(宁夏银川一中检测)对一切实数x，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．[－2，＋∞)
C．[－2,2] D．[0，＋∞)
解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立，此时a∈R，当x≠0时，则有a≥eq \f(－1－|x|2,|x|)＝－(|x|＋eq \f(1,|x|))，设f(x)＝－(|x|＋eq \f(1,|x|))，则a≥f(x)max，由基本不等式得|x|＋eq \f(1,|x|)≥2(当且仅当|x|＝1时取等号)，则f(x)max＝－2，故a≥－2.故选B.
答案：B
12．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：∵2x＋2y≥2 eq \r(2x·2y)＝2 eq \r(2x＋y)(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴ eq \r(2x＋y)≤eq \f(1,2)，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，x＋y≤－2，故选D.
答案：D
13．(沈阳模拟)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则eq \f(Sn＋8,an)的最小值是________．
解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝eq \f(n1＋n,2)，
所以eq \f(Sn＋8,an)＝eq \f(\f(n1＋n,2)＋8,n)
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(16,n)＋1))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2 \r(n·\f(16,n))＋1))＝eq \f(9,2)，
当且仅当n＝4时取等号．
所以eq \f(Sn＋8,an)的最小值是eq \f(9,2).
答案：eq \f(9,2)
14．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．
解析：设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2 eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20.
当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)(x＞0)，即x＝80时“＝”成立．
答案：80