高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.5《椭 圆》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.5《椭 圆》(教师版)，共9页。试卷主要包含了椭圆C，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．(东北三校联考(一))若椭圆mx2＋ny2＝1的离心率为eq \f(1,2)，则eq \f(m,n)＝( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(4,3)
C.eq \f(\r(3),2)或eq \f(2\r(3),3) D.eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
解析：若焦点在x轴上，则方程化为eq \f(x2,\f(1,m))＋eq \f(y2,\f(1,n))＝1，依题意得eq \f(\f(1,m)－\f(1,n),\f(1,m))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(m,n)＝eq \f(3,4)；若焦点在y轴上，则方程化为eq \f(y2,\f(1,n))＋eq \f(x2,\f(1,m))＝1，同理可得eq \f(m,n)＝eq \f(4,3).所以所求值为eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
答案：D
2．(河北省五校联考)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．2eq \r(2)
解析：设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，eq \f(1,2)×2cb＝1⇒bc＝1,2a＝2eq \r(b2＋c2)≥2eq \r(2bc)＝2eq \r(2)，当且仅当b＝c＝1时，等号成立．故选D.
答案：D
3．(武汉调研)已知A，B分别为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝eq \r(1－mn)x的距离为1，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),4)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(2),2)
解析：根据椭圆的标准方程eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则eq \f(x\\al(2,0),9)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，kAP＝m＝eq \f(y0,x0＋3)，kBQ＝n＝eq \f(－y0,x0－3)，∴mn＝eq \f(－y\\al(2,0),x\\al(2,0)－9)＝eq \f(b2,9)，∴eq \r(1－mn)＝eq \f(\r(9－b2),3)，∴直线y＝eq \r(1－mn)x＝eq \f(\r(9－b2),3)x，即eq \r(9－b2)x－3y＝0.又点A到直线y＝eq \r(1－mn)x的距离为1，∴eq \f(|－3\r(9－b2)|,\r(9－b2＋9))＝eq \f(3\r(9－b2),\r(18－b2))＝1，解得b2＝eq \f(63,8)，∴c2＝a2－b2＝eq \f(9,8)，∴e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(1,8))＝eq \f(\r(2),4)，故选B.
答案：B
4．椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线交C于P，Q两点，若cs∠PAQ＝eq \f(3,5)，则椭圆C的离心率e为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(2),3)
解析：根据题意可取P(c，eq \f(b2,a))，Q(c，－eq \f(b2,a))，所以tan∠PAF＝eq \f(\f(b2,a),a＋c)＝eq \f(b2,a2＋ac)＝eq \f(a2－c2,a2＋ac)＝eq \f(a－c,a)＝1－e，cs∠PAQ＝cs 2∠PAF＝cs2∠PAF－sin2∠PAF＝eq \f(cs2∠PAF－sin2∠PAF,cs2∠PAF＋sin2∠PAF)＝eq \f(1－tan2∠PAF,1＋tan2∠PAF)＝eq \f(1－1－e2,1＋1－e2)＝eq \f(3,5)，故5－5(1－e)2＝3＋3(1－e)2⇒8(1－e)2＝2⇒(1－e)2＝eq \f(1,4).又椭圆的离心率e的取值范围为(0,1)，所以1－e＝eq \f(1,2)，e＝eq \f(1,2)，故选A.
答案：A
5．如图所示，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,4)＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，交y轴于点H.若F1，H是线段MN的三等分点，则△F2MN的周长为( )
A．20 B．10
C．2eq \r(5) D．4eq \r(5)
解析：由F1，H是线段MN的三等分点，得H是F1N的中点，又F1(－c,0)，∴点N的横坐标为c，联立方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝c，,\f(x2,a2)＋\f(y2,4)＝1，))得N(c，eq \f(4,a))，∴H(0，eq \f(2,a))，M(－2c，－eq \f(2,a))．把点M的坐标代入椭圆方程得eq \f(4c2,a2)＋eq \f(－\f(2,a)2,4)＝1，化简得c2＝eq \f(a2－1,4)，又c2＝a2－4，∴eq \f(a2－1,4)＝a2－4，解得a2＝5，∴a＝eq \r(5).由椭圆的定义知|NF2|＋|NF1|＝|MF2|＋|MF1|＝2a，∴△F2MN的周长为|NF2|＋|MF2|＋|MN|＝|NF2|＋|MF2|＋|NF1|＋|MF1|＝4a＝4eq \r(5)，故选D.
答案：D
6．(金华模拟)如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在x轴上，且焦距为eq \r(3)的椭圆，则椭圆的短轴长为________．
解析：方程x2＋ky2＝2可化为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,\f(2,k))＝1，则(eq \f(\r(3),2))2＋eq \f(2,k)＝2⇒eq \f(2,k)＝eq \f(5,4)，∴短轴长为2×eq \f(\r(5),2)＝eq \r(5).
答案：eq \r(5)
7．(陕西检测)已知P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是其左、右焦点，∠F1PF2取最大值时cs∠F1PF2＝eq \f(1,3)，则椭圆的离心率为________．
解析：易知∠F1PF2取最大值时，点P为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与y轴的交点，由余弦定理及椭圆的定义得2a2－eq \f(2a2,3)＝4c2，即a＝eq \r(3)c，所以椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
8．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点，满足|AF2|＝eq \f(\r(3),6)c.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别和x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点．若|eq \(OR,\s\up6(→))|·|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝4，求椭圆C的方程．
解析：(1)∵点A的横坐标为c，
代入椭圆，得eq \f(c2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1.
解得|y|＝eq \f(b2,a)＝|AF2|，即eq \f(b2,a)＝eq \f(\r(3),6)c，
∴a2－c2＝eq \f(\r(3),6)ac.
∴e2＋eq \f(\r(3),6)e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(3),2).
(2)设M(0，b)，N(0，－b)，P(x0，y0)，
则直线MP的方程为y＝eq \f(y0－b,x0)x＋b.
令y＝0，得点R的横坐标为eq \f(bx0,b－y0).
直线NP的方程为y＝eq \f(y0＋b,x0)x－b.
令y＝0，得点Q的横坐标为eq \f(bx0,b＋y0).
∴|eq \(OR,\s\up6(→))|·|eq \(OQ,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(b2x\\al(2,0),b2－y\\al(2,0))))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a2b2－a2y\\al(2,0),b2－y\\al(2,0))))＝a2＝4，∴c2＝3，b2＝1，
∴椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
9．(沈阳模拟)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，其中e＝eq \f(1,2)，焦距为2，过点M(4,0)的直线l与椭圆C交于点A，B，点B在AM之间．又线段AB的中点的横坐标为eq \f(4,7)，且eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→)).
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)求实数λ的值．
解析：(1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)由题意可知A，B，M三点共线，
设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝4，不合题意．
则AB所在直线l的斜率存在，设为k，
则直线l的方程为y＝k(x－4)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－4，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))
消去y得(3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝322k4－4(4k2＋3)·(64k2－12)＝144(1－4k2)>0，
解得k2由eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(16k2,3＋4k2)＝eq \f(4,7)，可得k2＝eq \f(1,8)，
将k2＝eq \f(1,8)代入方程①，得7x2－8x－8＝0.
则x1＝eq \f(4－6\r(2),7)，x2＝eq \f(4＋6\r(2),7).
又因为eq \(AM,\s\up6(→))＝(4－x1，－y1)，eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2－4，y2)，
eq \(AM,\s\up6(→))＝λeq \(MB,\s\up6(→))，所以λ＝eq \f(4－x1,x2－4)，所以λ＝eq \f(－9－4\r(2),7).
B组 能力提升练
10．(保定模拟)设F1，F2是椭圆eq \f(4x2,49)＋eq \f(y2,6)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )
A．4 B．6
C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
解析：由题意知，|PF1|＋|PF2|＝7且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2×eq \r(\f(49,4)－6)＝5，显然，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直 角三角形，故△PF1F2的面积为eq \f(1,2)×3×4＝6.
答案：B
11．(惠州模拟)设F1，F2为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的两个焦
点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则eq \f(|PF2|,|PF1|)
的值为( )
A.eq \f(5,14) B.eq \f(5,9)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(5,13)
解析：如图所示，设线段PF1的中点为M，因为O得F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝eq \f(b2,a)＝eq \f(5,3)，|PF1|＝2a－|PF2|＝eq \f(13,3)，eq \f(|PF2|,|PF1|)＝eq \f(5,13)，故选D.
答案：D
12．(长郡中学模拟)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与圆D：x2＋y2－2ax＋eq \f(3,16)a2＝0交于A，B两点，若四边形OADB(O为原点)是菱形，则椭圆C的离心率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),4)
解析：由已知可得圆D：(x－a)2＋y2＝eq \f(13,16)a2，圆心D(a,0)，则菱形OADB对角线的交点的坐标为(eq \f(a,2)，0)，将x＝eq \f(a,2)，代入圆D的方程得y＝±eq \f(3a,4)，不妨设点A在x轴上方，即A(eq \f(a,2)，eq \f(3a,4))，代入椭圆C的方程可得eq \f(1,4)＋eq \f(9a2,16b2)＝1，所以eq \f(3,4)a2＝b2＝a2－c2，解得a＝2c，所以椭圆C的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
答案：B
13．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不 小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝eq \f(|3×0－4×b|,\r(32＋－42))≥eq \f(4,5)，所以1≤b<2，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝ eq \r(1－\f(b2,4)).因为1≤b<2，所以0答案：A
14．已知P(1,1)为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．
解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
则eq \f(x\\al(2,1),4)＋eq \f(y\\al(2,1),2)＝1，①
eq \f(x\\al(2,2),4)＋eq \f(y\\al(2,2),2)＝1，②
①－②得eq \f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，
∴eq \f(x1－x2,2)＋y1－y2＝0，∴k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(1,2).
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－eq \f(1,2)(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
15．(保定模拟)椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程．
(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN 的斜率为m.证明：2m－k为定值．
解析：(1)因为e＝eq \f(\r(3),2)＝eq \f(c,a)，
所以a＝eq \f(2,\r(3))c，b＝eq \f(1,\r(3))c.代入a＋b＝3得，c＝eq \r(3)，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k≠0，k≠±\f(1,2)))，①
把①代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，解得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2－2,4k2＋1)，－\f(4k,4k2＋1))).
直线AD的方程为y＝eq \f(1,2)x＋1.②
①与②联立解得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k＋2,2k－1)，\f(4k,2k－1))).
由D(0,1)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8k2－2,4k2＋1)，－\f(4k,4k2＋1)))，N(x,0)三点共线知eq \f(－\f(4k,4k2＋1)－1,\f(8k2－2,4k2＋1)－0)＝eq \f(0－1,x－0)，得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k－2,2k＋1)，0)).
所以MN的斜率为m＝eq \f(\f(4k,2k－1)－0,\f(4k＋2,2k－1)－\f(4k－2,2k＋1))
＝eq \f(4k2k＋1,22k＋12－22k－12)＝eq \f(2k＋1,4)，
则2m－k＝eq \f(2k＋1,2)－k＝eq \f(1,2)(定值)．