高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练6.4《推理与证明》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．

答案：A

2．(重庆检测)演绎推理“因为对数函数y＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y＝logx是对数函数，所以y＝logx是增函数”所得结论．错误的原因是(　　)

A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．大前提和小前提都错误

解析：因为当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，所以大前提错误．故选A.

答案：A

3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)

A．f(x)  B．－f(x)

C．g(x)  D．－g(x)

解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．

∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．

∴g(－x)＝－g(x)．

答案：D

4．已知an＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，观察下列运算：

a1·a2＝log23·log34＝·＝2；

a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝··…·＝3；….

若a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数，则称k为“企盼数”，试确定当a1·a2·a3·…·ak＝2 016时，“企盼数”k为(　　)

A．22 016＋2  B．22 016

C．22 016－2  D．22 016－4

解析：a1·a2·a3·…·ak＝＝2 016，lg(k＋2)＝lg 22 016，故k＝22 016－2.

答案：C

5．(丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为(　　)

A．(3,9)  B．(4,8)

C．(3,10)  D．(4,9)

解析：因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)．故选D.

答案：D

6．下列结论正确的个数为(　　)

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．

(4)平面内，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：(1)不正确．(2)(3)(4)正确．

答案：D

7．(南阳模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．

甲说：我在1日和3日都有值班；

乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．

据此可判断丙必定值班的日期是(　　)

A．2日和5日  B．5日和6日

C．6日和11日  D．2日和11日

解析：1～12日期之和为78，三人各自值班的日期之和相等，故每人值班四天的日期之和是26，甲在1日和3日都有值班，故甲余下的两天只能是10日和12日；而乙在8日和9日都有值班，8＋9＝17，所以11日只能是丙去值班了，余下还有2日、4日、5日、6日、7日五天，显然，6日只能是丙去值班了．

答案：C

8．已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3,5，第三行为7,9,11，第四行为13,15,17,19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i行，第j列的数记为ai，j，比如a3,2＝9，a4,2＝15，a5,4＝23，若ai，j＝2 017，则i＋j＝(　　)

A．64  B．65

C．71  D．72

解析：奇数数列an＝2n－1＝2017⇒n＝1 009，按照蛇形排列，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝个奇数，则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1 035个奇数；则2 017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2 017位于第45行，从右到左第19列，则i＝45，j＝27⇒i＋j＝72.

答案：D

9．观察如图，可推断出“x”处应该填的数字是________．

解析：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，所以“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.

答案：183

10．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ＞0，{an}的通项公式是________．

解析：a1＝2，a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)·2＝λ2＋22，

a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)·22＝2λ3＋23，

a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)·23＝3λ4＋24.

由此猜想出数列{an}的通项公式为an＝(n－1)λn＋2n.

答案：an＝(n－1)λn＋2n

B组　能力提升练

11．在平面几何中，有如下结论：正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，所以体积之比为＝.

答案：D

12．(合肥模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0a1，h1＝h0a2，运算规则为：00＝0,01＝1,10＝1,11＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(　　)

A．11 010 B．01 100

C．10 111 D．00 011

解析：对于选项C，传输信息是10 111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h0＝01＝1，而h1＝h0a2＝11＝0，故传输信息应是10 110.

答案：C

13．(福州模拟)我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和(a，b，c，d∈N*)，则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π＝3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：由题意：第一次用“调日法”后得 是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的不足近似值，即＜π＜，第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得＝是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜.

答案：A

14．(沈阳模拟)某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n级分形图．

则n级分形图中共有________条线段．

解析：由题图知，一级分形图有3＝3×2－3条线段，二条分形图有9＝3×22－3条线段，三级分形图中有21＝3×23－3条线段，按此规律n级分形图中的线段条数为3×2n－3(n∈N*)．

答案：3×2n－3(n∈N*)

15．如图所示是由长为1的小木棒拼成的图形，其中第n个图形由n个正方形组成：

观察图形，根据第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数，得出第n个图形中，小木棒的根数为________．

解析：观察题干中图形可得，第1个、第2个、第3个、第4个图形中小木棒的根数分别为4,7,10,13，则4＝3×1＋1,7＝3×2＋1,10＝3×3＋1,13＝3×4 ＋1，由归纳推理得，第n个图形中，小木棒的根数为3n＋1.

答案：3n＋1

16．(合肥模拟)已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论＞a成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立．

解析：运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sin x(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y＝sin x(x∈(0，π))图象上的点 的纵坐标，即＜sin 成立．

答案：＜sin