高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练5.4《数列求和》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)

A．1＋2n　　　　　　　　　 B．2＋2n

C．n＋2n－1  D．n＋2＋2n

解析：由题意得an＝1＋2n－1，

所以Sn＝n＋

＝n＋2n－1.

答案：C

2．(长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)

A．15  B．12

C．－12  D．－15

解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.

答案：A

3．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)

A．100  B．110

C．120  D．130

解析：{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120，故选C.

答案：C

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D.

解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，

∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，所以数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选A.

答案：A

5．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3n，则其前20项和为(　　)

A．380－   B．400－

C．420－   D．440－

解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3＝2×－3×＝420－.

答案：C

6．数列{an}的通项公式是an＝，若前n项和为10，则项数n为(　　)

A．120  B．99

C．11  D．121

解析：an＝＝＝ － ，所以a1＋a2＋…＋an＝( －1)＋( － )＋…＋( － )＝ －1＝10.即 ＝11，所以n＋1＝121，n＝120.

答案：A

7．在等差数列{an}中，a1＞0，a10·a11＜0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18的值是________．

解析：由a1＞0，a10·a11＜0可知d＜0，a10＞0，

a11＜0，

所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18

＝S10－(S18－S10)＝60.

答案：60

8．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________.

解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2

＝1＋log21＝1，所以2Sn＝＋＋…＋＝n－1.所以Sn＝.

答案：

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.

记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)．

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，

则A＝＝22n＋1－2，

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

10．(长沙市统一模拟考试)已知数列{an}为等差数列，其中a2＋a3＝8，a5＝3a2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝，设{bn}的前n项和为Sn，求最小的正整数n，使得Sn＞.

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，

依题意有，

解得a1＝1，d＝2，

从而{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.

(2)因为bn＝＝－，

所以Sn＝＋＋…＋＝1－，

令1－＞，

解得n＞1 008，故取n＝1 009.

B组　能力提升练

11．(江西师大附中调研)定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”，若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn＝，则＋ ＋…＋＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：由定义可知a1＋a2＋…＋an＝5n2，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝5(n＋1)2，可求得an＋1＝10n＋5，所以an＝10n－5，则bn＝2n－1.又＝，所以＋＋…＋＝＝＝.

答案：C

12．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n(2n－1)·cos＋1(n∈N*)，其前n项和为Sn，则S60＝(　　)

A．－30  B．－60

C．90  D．120

解析：由题意可得，当n＝4k－3(k∈N*)时，an＝a4k－3＝1；当n＝4k－2(k∈N*)时，an＝a4k－2＝6－8k；当n＝4k－1(k∈N*)时，an＝a4k－1＝1；当n＝4k(k∈N*)时，an＝a4k＝8k.所以a4k－3＋a4k－2＋a4k－1＋a4k＝8，所以S60＝8×15＝120.

答案：D

13．(湖南湘潭模拟)已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)

A．1 026  B．1 025

C．1 024  D．1 023

解析：因为＝1＋n，

所以Tn＝n＋1－，

所以T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，

又m＞T10＋1 013，

所以整数m的最小值为1 024.故选C.

答案：C

14．(山西四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝________.

解析：∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n　①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1　②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.

答案：3×21 008－3

15．已知数列2 017,2 018,1，－2 017，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S2 018＝________.

解析：由题意可知， an＋1＝an＋an＋2，a1＝2 017，a2＝2 018，所以a3＝1，a4＝－2 017，a5＝－2 018，a6＝－1，a7＝2017，…，所以an＋6＝an，即数列{an}是以6为周期的数列，又a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以S2 018＝336(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＋(a1＋a2)＝ 4 035.

答案：4 035

16．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式．

(2)若数列{bn}满足＝( )1＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析：(1)因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，

所以数列{an}是公差为2的等差数列，

因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1·a5，

所以(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1.

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)因为数列{bn}满足＝( )1＋an，

所以bn＝(2n－1)( )1＋(2n－1) ＝(2n－1)·2n.

所以数列{bn}的前n项和

Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，

所以2Tn＝2×2＋3×23＋…＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1，

所以Tn＝6＋(2n－3)×2n＋1.