高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练6.2《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．下列各点中，与点(2,2)位于直线x＋y－1＝0的同一侧的是(　　)

A．(0,0)　　　　　　　　 B．(－1,1)

C．(－1,3)  D．(2，－3)

解析：点(2,2)使x＋y－1＞0，点(－1,3)使x＋y－1＞0，所以此两点位于x＋y－1＝0的同一侧．

答案：C

2．若函数y＝log2x的图象上存在点(x，y)，满足约束条件则实数m的最大值为(　　)

A.　　 B．1

C.　　　 D．2

解析：如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图象过点(2,1)时，实数m有最大值1.

答案：B

3．(铁岭模拟)已知变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．1　　 B．2

C．3　　　 D．4

解析：作图易知可行域为一个三角形，

其三个顶点为(0,1)，(1,0)，(－1，－2)，验证知当直线z＝2x＋y过点A(1,0)时，z最大是2.

答案：B

4．(石家庄模拟)已知x，y满足约束条件则下列目标函数中，在点(4,1)处取得最大值的是(　　)

A．z＝x－y　　　　　 B．z＝－3x＋y

C．z＝x＋y  D．z＝3x－y

解析：画的线性区域求得A，B，C三点坐标为(4,1)、(1,4)、(－4，－1)，由于只在(4,1)处取得最大值，否定A、B、C.

答案：D

5．(大连模拟)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)

A.  B．(0,1]

C.  D．(0,1]∪

   解析：不等式组表示的平面区域如图 

(阴影部分)，

求得A，B两点的坐标分别为和(1,0)，

若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0＜a≤1或a≥.

答案：D

6．设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)

A．－15  B．－9

C．1  D．9

解析：法一：作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直线z＝2x＋y过点B(－6，－3)时，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，选A.

法二：易求可行域顶点A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，   

分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1，－15,9，

故最小值为－15.

答案：A

7．(开封模拟)已知实数x，y满足约束条件则z＝()x－2y的最大值是(　　)

A.   B.

C．32  D．64

解析：法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当直线u＝x－2y经过点A(1,3)时，u取得最小值，即umin＝1－  2×3＝－5，此时z＝()x－2y取得最大值，即zmax＝()－5＝32，故选C.

法二：由题易知z＝()x－2y的最大值在可行域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，C的坐标分别代入z＝()x－2y，即可求得最大值．联立得解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得解得B(1，－)，代入可得z＝；联立得解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在点A(1,3)处，z＝()x－2y取得最大值32，故选C.

答案：C

8．(太原模拟)已知点(x，y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界)，若使目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，则a的值为(　　)

A．4   B.

C.   D.

解析：因为目标函数z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直线y＝－ax＋z在y轴上的截距．分析知当直线y＝－ax＋z的斜率与直线AC的斜率相等时，目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数多个，此时－a＝＝－，即a＝，故选D.

答案：D

9．若关于x，y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为________．

解析：直线kx－y＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为等腰直角三角形，只有直线kx－y＋1＝0垂直于y轴(如图(1))或与直线x＋y＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S＝×1×1＝或S＝××＝.

答案：或

10．已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．

解析：画出可行域如图所示，其中A(2,3)，x2＋y2的几何意义是可行域内的动点P(x，y)与原点(0,0)之间的距离的平方，由图可看出原点(0,0)到直线2x＋y －2＝0的距离d＝⇒d2＝最近，图中A点距离原点最远，其中OA＝ ，即(x2＋y2)min＝，(x2＋y2)max＝13，

所以x2＋y2的范围是.

答案：

B组　能力提升练

11．(桂林模拟)若直线ax－y－a＋3＝0将x，y满足的不等式组表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z＝4x－ay的最大值是(　　)

A．－8  B．2

C．4  D．8

解析：由直线ax－y－a＋3＝0，得a(x－1)＋(3－y)＝0，此直线恒过点C(1,3)．不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由解得B(3,4)．由解得A(－1,2)，可得C(1,3)是AB的中点．若直线ax－y－a＋3＝0将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M(0,1)．将M(0,1)代入ax－y－a＋3＝0，解得a＝2.z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－.易知当y＝2x－经过点B时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4.故选C.

答案：C

12．(长沙模拟)不等式组表示的平面区域为D，若(x，y)∈D，则(x－1)2＋y2的最小值为(　　)

A.   B.

C．1   D.

解析：由已知可得可行域D在直线2x－y＝0的上方，结合图象(图略)可知，点(1,0)到可行域D的最小距离就是点(1,0)到直线2x－y＝0的距离，所以＝≤ ，所以(x－1)2＋y2的最小值为.

答案：A

13．(福州模拟)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：

p1： (x，y)∈D，x－2y≥2；

p2： ∃ (x，y)∈D，x－2y≥3；

p3： (x，y)∈D，x－2y≥；

p4：∃ (x，y)∈D，x－2y≤－2.

其中的真命题是(　　)

A．p2，p3  B．p1，p4

C．p1，p2  D．p1，p3

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

由解得所以M(，)．

由图可知，当直线z＝x－2y过点M(，)时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命题是p2，p3，故选A.

答案：A

14．已知平面上的单位向量e1与e2的起点均为坐标原点O，它们的夹角为.平面区域D由所有满足＝λe1＋μe2的点P组成，其中那么平面区域D的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e1＝(1,0)，e2＝(，)，设向量＝(x，y)，因为＝λe1＋μe2，所以即因为

所以其表示的平面区域D如图中阴影部分所示，所以平面区域D的面积为，故选D.

答案：D

15．(洛阳联考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．

解析：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部 

分所示，＝1＋2×，表示可行域中

的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，

当x＝0，y＝3时，取得最大值，且

()max＝9.因为点P(－1，－1)在

直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且()min＝3.所以的取值范围是[3,9]．

答案：[3,9]

16．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润 分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________.

解析：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，利润为z万元，则目标函数为z＝3x＋4y.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，

即可行域．

由z＝3x＋4y得y＝－x＋，

平移直线y＝－x＋，由图象可知当直线y＝－x＋经过点A时，直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，此时z最大，

解方程组

得

即A点的坐标为(2,3)，

所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18.

即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．

答案：18万元