高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.7《抛物线》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练8.7《抛物线》(教师版)，共7页。试卷主要包含了已知点M是抛物线C，抛物线C，设抛物线C，设A，B为曲线C等内容，欢迎下载使用。

1．已知抛物线y2＝eq \f(1,8)x，则它的准线方程为( )
A．y＝－2 B．y＝2
C．x＝－eq \f(1,32) D．y＝eq \f(1,32)
解析：因为抛物线y2＝eq \f(1,8)x，所以p＝eq \f(1,16)，eq \f(p,2)＝eq \f(1,32)，它的准线方程为x＝－eq \f(1,32).
答案：C
2．(洛阳模拟)已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，那么Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)，4))在抛物线上，即16＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(p,2)))，即p2－8p＋16＝0，解得p＝4.
答案：D
3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上的点P(x0，eq \r(2))到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍，则p等于( )
A.eq \f(1,2) B．1
C.eq \f(3,2) D．2
解析：根据焦半径公式|PF|＝x0＋eq \f(p,2)，所以x0＋eq \f(p,2)＝3x0，解得x0＝eq \f(p,4)，代入抛物线方程(eq \r(2))2＝2p×eq \f(p,4)，解得p＝2.
答案：D
4．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是C上一点，若P到F的距离是P到y轴距离的两倍，且△OPF的面积为1(O为坐标原点)，则p的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设点P(x，y)，根据已知可得x＋eq \f(p,2)＝2x，解得：x＝eq \f(p,2)，|y|＝p，所以S△OPF＝eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×p＝1，解得p＝2.
答案：B
5．(正定模拟)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为( )
A．y＝x－1或y＝－x＋1
B．y＝eq \f(\r(3),3)(x－1)或y＝－eq \f(\r(3),3)(x－1)
C．y＝eq \r(3)(x－1)或y＝－eq \r(3)(x－1)
D．y＝eq \f(\r(2),2)(x－1)或y＝－eq \f(\r(2),2)(x－1)
解析：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到
准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.
设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|
＝3m.由BB1∥AA1可知eq \f(|BB1|,|AA1|)＝eq \f(|MB|,|MA|)，即eq \f(m,3m)＝
eq \f(|MB|,|MB|＋4m)，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝
30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，结合选项知选C项．
答案：C
6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，由|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，可取A(eq \f(4,p)，2eq \r(2))，D(－eq \f(p,2)，eq \r(5))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq \f(16,p2)＋8＝eq \f(p2,4)＋ 5，得p＝4，所以选B.
答案：B
7．(沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.
解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝eq \f(2\r(3),3)，设P(x0，y0)，则x0＝±eq \f(2\r(3),3)，代入x2＝4y中，得y0＝eq \f(1,3)，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝eq \f(4,3).
答案：eq \f(4,3)
8．已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，⊙M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与⊙M相切，那么p的值为__________．
解析：将⊙M的方程化为标准方程：(x＋4)2＋y2＝4，圆心坐标为(－4,0)，半径r＝2，又抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，∴|4－eq \f(p,2)|＝2，解得p＝12或4.
答案：12或4
9.如图所示，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：
y2＝4x的焦点F，设点A是直线l与抛物线C在第一
象限的交点．以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴
负半轴的交点为点B，与抛物线C在第四象限的交点
为点C.
(1)若点O到直线l的距离为eq \f(\r(3),2)，求直线l的方程；
(2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．
解析：(1)由题易知，抛物线C的焦点为F(1,0)，
当直线l的斜率不存在时，即x＝1，不符合题意.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
所以eq \f(|－k|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(3),2)，解得k＝±eq \r(3).
即直线l的方程为y＝±eq \r(3)(x－1)．
(2)直线AB与抛物线C相切，证明如下：
设A(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝4x0.
因为|BF|＝|AF|＝x0＋1，所以B(－x0,0)．
所以直线AB的方程为：y＝eq \f(y0,2x0)(x＋x0)，
整理得，x＝eq \f(2x0y,y0)－x0，
把上式代入y2＝4x得y0y2－8x0y＋4x0y0＝0，
Δ＝64xeq \\al(2,0)－16x0yeq \\al(2,0)＝64xeq \\al(2,0)－64xeq \\al(2,0)＝0，所以直线AB与抛物线C相切．
10．设A，B为曲线C：y＝eq \f(x2,4)上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝eq \f(x\\al(2,1),4)，y2＝eq \f(x\\al(2,2),4)，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(x1＋x2,4)＝1.
(2)由y＝eq \f(x2,4)，得y′＝eq \f(x,2).
设M(x3，y3)，由题设知eq \f(x3,2)＝1，
解得x3＝2，于是M(2,1)．
设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝eq \f(x2,4)得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2eq \r(m＋1).
从而|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝4eq \r(2m＋1).
由题设知|AB|＝2|MN|，即4eq \r(2m＋1)＝2(m＋1)，解得m＝7.
所以直线AB的方程为y＝x＋7.
B组 能力提升练
11．(玉溪模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )
A．y2＝4x B．y2＝6x
C．y2＝8x D．y2＝10x
解析： 因为抛物线y2＝2px，所以准线为x＝－eq \f(p,2).
因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，
所以2＋eq \f(p,2)＝4，所以p＝4，
所以抛物线的标准方程为y2＝8x.
答案：C
12．(永州模拟)已知点M，N是抛物线y＝4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足∠MFN＝135°，弦MN的中点P到直线l：y＝－eq \f(1,16)的距离为d，若|MN|2＝λ·d2，则λ的最小值为( )
A.eq \f(\r(2),2) B．1－eq \f(\r(2),2)
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋eq \r(2)
解析：抛物线y＝4x2的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16)))，准线为y＝－eq \f(1,16)，设|MF|＝a，|NF|＝b，由∠MFN＝135°，可得|MN|2＝|MF|2＋|NF|2－2|MF|·|NF|·cs∠MFN＝a2＋b2＋eq \r(2)ab，由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理可得d＝eq \f(1,2)(|MF|＋|NF|)＝eq \f(1,2)(a＋b)，由|MN|2＝λ·d2，可得eq \f(1,4)λ＝eq \f(a2＋b2＋\r(2)ab,a＋b2)＝1－eq \f(2－\r(2)ab,a＋b2)≥1－eq \f(2－\r(2)ab,2\r(ab)2)＝1－eq \f(2－\r(2),4)＝eq \f(2＋\r(2),4)，可得λ≥2＋eq \r(2)，当且仅当a＝b时，取得最小值2＋eq \r(2).
答案：D
13．(衡水模拟)焦点为F的抛物线C：y2＝8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当eq \f(|MA|,|MF|)取得最大值时，直线MA的方程为( )
A．y＝x＋2或y＝－x－2
B．y＝x＋2
C．y＝2x＋2或y＝－2x＋2
D．y＝－2x＋2
解析：如图，过M作MP与准线垂直，垂足为P，
则eq \f(|MA|,|MF|)＝eq \f(|MA|,|MP|)＝eq \f(1,cs∠AMP)＝eq \f(1,cs∠MAF)，则当eq \f(|MA|,|MF|)
取得最大值时，∠MAF必须取得最大值，此时直
线AM与抛物线相切，可设切线方程为y＝k(x＋2)，
与y2＝8x联立，消去x得ky2－8y＋16k＝0，所以
Δ＝64－64k2＝0，得k＝±1.则直线方程为y＝x＋2
或y＝－x－2.
答案：A
14．(2016·高考浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．
解析：由抛物线定义得xM＋1＝10⇒xM＝9.
答案：9
15.如图所示，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次
交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，
则抛物线的方程是__________．
解析：分别过点A、B作准线的垂线AE、BD，分别交准
线于点E、D(图略)，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝
2|BD|，∴∠BCD＝
30°，又|AE|＝|AF|＝3，∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝eq \f(3,2)，
∴抛物线的方程是y2＝3x.
答案：y2＝3x
16．已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.
(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；
(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．
解析：(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，半径为eq \f(|OA|,2)＝eq \f(\r(5),2)，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,2)))2＝eq \f(5,4).
(2)记A(x1，eq \f(x\\al(2,1),2p))，B(x2，eq \f(x\\al(2,2),2p))．则eq \(OB,\s\up6(→))＝(x2，eq \f(x\\al(2,2),2p))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，eq \f(x\\al(2,2)－x\\al(2,1),2p))．
由eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0知，x2(x2－x1)＋eq \f(x\\al(2,2)x\\al(2,2)－x\\al(2,1),4p2)＝0.
∵x2≠0，且x1≠x2，∴xeq \\al(2,2)＋x1·x2＝－4p2，∴x1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(4p2,x2))).
∴xeq \\al(2,1)＝xeq \\al(2,2)＋eq \f(16p4,x\\al(2,2))＋8p2≥2eq \r(16p4)＋8p2＝16p2，当且仅当xeq \\al(2,2)＝eq \f(16p4,x\\al(2,2))，即xeq \\al(2,2)＝4p2时取等号．
又|OA|2＝xeq \\al(2,1)＋eq \f(x\\al(4,1),4p2)＝eq \f(1,4p2)(xeq \\al(4,1)＋4p2·xeq \\al(2,1))，注意到xeq \\al(2,1)≥16p2，
∴|OA|2≥eq \f(1,4p2)(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.而S＝π·eq \f(|OA|2,4)，∴S≥20πp2，
即S的最小值为20πp2，当且仅当xeq \\al(2,2)＝4p2时取得．