初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程同步练习题

第15章分式15.3分式方程（中考真题专练）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．（2019·黑龙江伊春·中考真题）已知关于的分式方程的解是非正数，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可

【详解】

，

方程两边同乘以，得

，

移项及合并同类项，得

，

分式方程的解是非正数，，

，

解得，，

故选A．

【点评】

此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m的值

2．（2018·四川甘孜·中考真题）若x=4是分式方程的根，则a的值为　　

A．6 B．－6 C．4 D．－4

【答案】A

【解析】

【分析】

把x=4代入方程进行求解即可.

【详解】

由题意得：=，

解得：a=6，

故选A.

【点评】

本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.

3．（2018·湖南益阳·中考真题）体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是米/秒，则所列方程正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．

【详解】

小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，

∵小进比小俊少用了40秒，

方程是，

故选C．

【点评】

本题考查了列分式方程解应用题，能找出题目中的相等关系式是解此题的关键．

4．（2020·甘肃兰州·中考真题）关于x的分式方程的解为负数，则a的取值范围是　　

A． B． C．且 D．且

【答案】D

【解析】

【分析】

分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．

【详解】

分式方程去分母得：，即，

因为分式方程解为负数，所以，且，

解得：且，

故选D．

【点评】

本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程的一般步骤及注意事项是解题的关键.注意在任何时候都要考虑分母不为0．

5．（2019·湖北荆州·中考真题）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（   ）

A． B．且 C． D．且

【答案】B

【解析】

【分析】

先用k表示x，然后根据x为正数列出不等式，即可求出答案.

【详解】

解：，

，

，

该分式方程有解，

，

，

，

，

，

且，

故选：．

【点评】

本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.

6．（2019·湖北中考真题）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务．设原计划每天铺设钢轨米，则根据题意所列的方程是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设原计划每天铺设钢轨米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设米，就能提前天完成任务可列方程．

【详解】

设原计划每天铺设钢轨米，可得：，

故选A．

【点评】

本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．

二、填空题

7．（2019·山东烟台·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为_____.

【答案】3

【解析】

【分析】

把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．

【详解】

去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．

【点评】

考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

8．（2018·山东省潍坊第八中学中考真题）当____________时,解分式方程会出现增根．

【答案】2

【解析】

分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．

详解：分式方程可化为：x-5=-m，

由分母可知，分式方程的增根是3，

当x=3时，3-5=-m，解得m=2，

故答案为2．

点评：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

9．（2019·黑龙江绥化·中考真题）甲、乙两辆汽车同时从地出发，开往相距的地，甲、乙两车的速度之比是，结果乙车比甲车早分钟到达地，则甲车的速度为_____．

【答案】80

【解析】

【分析】

设甲车的速度为，则乙车的速度为，根据乙车比甲车早30分钟到达B地列方程求解即可.

【详解】

设甲车的速度为，则乙车的速度为，

依题意，得，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

故答案为：80.

【点评】

本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分式方程要验根.

10．（2019·四川巴中·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．

【答案】1

【解析】

【分析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．

【详解】

解：方程两边都乘，得

∵原方程有增根，

∴最简公分母，

解得，

当时，

故m的值是1，

故答案为1

【点评】

本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

11．（2019·江苏宿迁·中考真题）关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____．

【答案】且

【解析】

【分析】

直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．

【详解】

去分母得：，

解得：，

，

解得：，

当时，不合题意，

故且．

故答案为：且．

【点评】

此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．

12．（2018·江苏宿迁·中考真题）为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的2倍，结果提前4天完成任务，则原计划每天种树的棵数是________.

【答案】120

【解析】

【分析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可.

【详解】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树2x棵，

依题可得：，

解得：x=120，

经检验x=120是原分式方程的根，

故答案为：120.

【点评】本题考查了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题的关键.

三、解答题

13．（2018·辽宁抚顺·中考真题）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行了改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．

（1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？

（2）若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？

【答案】（1）乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．（2）10天.

【解析】

【分析】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据总费用=甲队每天所需费用×工作时间+乙队每天所需费用×工作时间结合总费用不超过145万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

【详解】

（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，

根据题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，

∴x=×40=60，

答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米；

（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，

根据题意得：7m+5×≤145，

解得：m≥10，

答：至少安排甲队工作10天．

【点评】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．

14．（2018·辽宁盘锦·中考真题）东东玩具商店用500元购进一批悠悠球，很受中小学生欢迎，悠悠球很快售完，接着又用900元购进第二批这种悠悠球，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了5元．

（1）求第一批悠悠球每套的进价是多少元；

（2）如果这两批悠悠球每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套悠悠球的售价至少是多少元？

【答案】（1）第一批悠悠球每套的进价是25元；（2）每套悠悠球的售价至少是35元．

【解析】

分析：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，根据数量=总价÷单价结合第二批购进数量是第一批数量的1.5倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设每套悠悠球的售价为y元，根据销售收入-成本=利润结合全部售完后总利润不低于25%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．

详解：（1）设第一批悠悠球每套的进价是x元，则第二批悠悠球每套的进价是（x+5）元，

根据题意得：

，

解得：x=25，

经检验，x=25是原分式方程的解．

答：第一批悠悠球每套的进价是25元．

（2）设每套悠悠球的售价为y元，

根据题意得：500÷25×（1+1.5）y-500-900≥（500+900）×25%，

解得：y≥35．

答：每套悠悠球的售价至少是35元．

点评：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

15．（2017·山东日照·中考真题）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2015年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．

(1)实际每年绿化面积为多少万平方米？

(2)为加大创建力度，市政府决定从2018年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？

【答案】（1）实际每年绿化面积为54万平方米；（2）实际平均每年绿化面积至少还要增加45万平方米．

【解析】

【分析】

（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．

【详解】

（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得

解得：x=33.75，

经检验x=33.75是原分式方程的解，

则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．                       

答：实际每年绿化面积为54万平方米；

（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得

54×3+2（54+a）≥360

解得：a≥45．

答：则至少每年平均增加45万平方米．

16．（2019·湖南郴州·中考真题）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．

（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？

（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？

【答案】（1）每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；（2）共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．

【解析】

【分析】

(1)设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工个零件，根据工作时间工作总量工作效率结合一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设A型机器安排m台，则B型机器安排台，根据每小时加工零件的总量型机器的数量型机器的数量结合每小时加工的零件不少于72件且不能超过76件，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各安排方案．

【详解】

(1)设每台B型机器每小时加工x个零件，则每台A型机器每小时加工个零件，

依题意，得：，

解得：x=6，

经检验，x=6是原方程的解，且符合题意，

．

答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；

(2)设A型机器安排m台，则B型机器安排台，

依题意，得：，

解得：，

为正整数，

，

答：共有三种安排方案，方案一：A型机器安排6台，B型机器安排4台；方案二：A型机器安排7台，B型机器安排3台；方案三：A型机器安排8台，B型机器安排2台．

【点评】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

17．（2019·山东菏泽·中考真题）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．

【答案】汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米/分钟．

【解析】

【分析】

设汽车行驶在普通公路上的平均速度是千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是1.8x千米/分钟，根据“行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟”列出方程并解答．

【详解】

设汽车行驶在普通公路上的平均速度是千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米/分钟，

由题意，得，

解得，

经检验，是所列方程的根，且符合题意，

所以(千米/分钟)，

答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是千米/分钟．

【点评】

本题考查分式方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

18．（2015·贵州铜仁·中考真题）2017年5月，某县突降暴雨，造成山体滑坡，桥梁垮塌，房屋大面积受损，该省民政厅急需将一批帐篷送往灾区．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20件帐篷，且甲种货车装运1 000件帐篷与乙种货车装运800件帐篷所用车辆相等．

(1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少件帐篷；

(2)如果这批帐篷有1 490件，用甲、乙两种汽车共16辆装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了50件，其余装满，求甲、乙两种货车各有多少辆．

【答案】（1）甲种货车每辆车可装100件帐篷，乙种货车每辆车可装80件帐篷；（2）甲种货车有12辆，乙种货车有4辆．

【解析】

【分析】

（1）可设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，根据题目中的等量关系“①甲种货车每辆车装的件帐篷数=乙种货车每辆车装的件帐篷数+20；②甲种货车装运1000件帐篷所用车辆=乙种货车装运800件帐蓬所用车辆”，列出方程组求解即可；

（2）可设甲种汽车有m辆，乙种汽车有（16﹣m）辆，根据等量关系：甲车装运帐篷数量+乙车装运帐篷数量=这批帐篷总数量1490件，列出方程求解即可．

【详解】

解：（1）设甲种货车每辆车可装x件帐蓬，乙种货车每辆车可装y件帐蓬，依题意有

解得

经检验，是原方程组的解．

故甲种货车每辆车可装100件帐蓬，乙种货车每辆车可装80件帐蓬；

（2）设甲种汽车有m辆，乙种汽车有（16﹣m）辆，依题意有

100m+80（16﹣m﹣1）+50=1490，

解得m=12，

16﹣m=16﹣12=4．

故甲种汽车有12辆，乙种汽车有4辆．

考点：分式方程的应用；二元一次方程组的应用．