第四章 导数专练7—双变量与极值点偏移问题（1）-2022届高三数学一轮复习

第四章 导数专练7—双变量与极值点偏移问题（1）

1．设函数．

（1）当时，求的单调区间是的导数）；

（2）若有两个极值点、，证明：．

解：（1）当时，，

则，

，，

显然递减，且（1），

故当时，，时，，

故在递增，在递减；

（2）证明：，

，

由题意知有2个不相等的实数根，

即有2个不相等的实数根，，

则，令，则，

令，解得：，令，解得：，

故在递增，在递减，

故（1），而时，，

故的取值范围是，，

由，得，

故

，

令，则，

，，

故不等式只要在时成立，

令，

，，

故在上单调递增，即，

故在上单调递减，即，

故原不等式成立．

2．已知函数，．

（1）讨论函数的极值点；

（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．

解：（1），

，

令，△，

当时，△，，无极值点，

当时，令，解得：，

当，，时，，递增，

，时，，递减，

故极大值点是，极小值点是；

综上：时，无极值点，

时，极大值点是，极小值点是；

（2）由，即，

令，

，令，得，

当时，，当时，，

在递减，在，上递增，

又有2个零点，

，即，解得：，

且，两式相减得：，

设，，

，要证明，

即证明，，

，

即证明，

令，

，

在上单调递减，

（1），

即．

3．已知函数有两个不同的零点（其中为自然对数的底数）．

（1）当时，求证：；

（2）求实数的取值范围；

（3）若函数的两个零点为、，求证：．

证明：（1）当时，要证，

只需证明，

令，则，设，

则，

当时，，在上，为单调递减函数，

此时，

所以原不等式成立．

解：（2），

当时，，当时，当，

可得函数在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，

所以，

当时，，不合题意，

当时，（1），若，则，

当时，，

又因为当时，由（1）可得，

由得，

取满足且，则，

所以在上有唯一的零点，

综上所述，．

证明：（3）函数的两个零点为、，

所以，

同理，

由（1）得，，

所以，，

所以，

因为，所以，

所以，

同理，

所以．

4．已知，函数．

（Ⅰ）若，求的取值范围；

（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．

解：（Ⅰ），

当时，，在上递增，

又，故符合题意，

当时，在递减，在递增，

，故，

又，

，解得：，

当时，，在上单调递增，

当时，，，

，不符合题意，

综上：．

（2）证明：令，则且，

记且，由于，

故在和上递减，在上递增，

且当时，，当时，，当时，，当时，，

根据题意可知，，且，

先证，即证，即证，显然成立；

再证，

，，

只需证，

，

，

只需证，即证，

又，

只需证，亦即，即，

由知，，

，故，即得证．

5．已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的值域；

（Ⅱ）若函数有两个零点，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ），

，，

当时，，函数在，单调递增，

又（1），当时，，

函数在，单调递增，

又（1），当时，，

又时，，

即所求的值域是；

（Ⅱ）有两个零点，，由，得，

记，则，

令，得，当时，，单调递增，

当时，，单调递减，则，

且当时，；当时，；

必有．

又由（Ⅰ）知当时，，

即

又，，

在单调递减．

又令，代入式得，，

即，

又由题意函数有两个零点，，

得，

两式相减得，

，

又，，

，

，

得，

又，只要，

又，．

综上所述，实数的取值范围是．

6．已知函数．

（1）若单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．

解：（1）由题意知对任意，

恒成立，

即对任意，恒成立，

易知函数在上单调递减，

故，，

故，即的取值范围是，．

（2），

由题意知，是的两个根，

即，是方程的两个根，

则，解得：，

且，，则，

要证，只需证，

即证，，

，，

从而，

令，则，，，

设函数，，

则，

设，，，

则，

易知存在，，使得，

且当，时，，当，时，，

故函数在，递减，在，递增，

故，故在，上单调递减，

从而，

故，原命题成立．

7．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）当时，若，是方程的两根，求证：．

解：（1），定义域是，

，

①时，，，在单调递增，

②时，，令，解得：，

令，解得：，

故在单调递增，在，单调递减，

综上：时，在单调递增，

时，在单调递增，在，单调递减．

（2）证明：由题意可知，是函数的零点，

，当时，，当时，，

函数在上单调递增，在上单调递减，

故函数要有2个零点，必有（1），即，

要证即证，

只需证明①，

由于，，，（1），

函数在，上存在唯一零点，即②，

又，

令，，

，，故，

在上单调递增，故，

函数在上存在唯一零点，即③，

由②③可知①成立，

故．

8．已知函数有最小值，且．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．

解：（Ⅰ）有题意，

当时，，在上单增，此时显然不成立，

当时，令，得，

此时在上单减，在上单增，

（b），即，所以，．

所以的最大值为1．

（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，

的两个零点为，，则，即，，

不等式恒成立等价于，

两式相减得，

带入上式得，

令，则，，

所以函数在上单调递增，（1），得证．