第四章 导数专练14—与三角函数相结合的问题（2）-2022届高三数学一轮复习

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第四章  导数专练14—与三角函数相结合的问题（2）1．已知函数，．（1）求函数的最小值；（2）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围．解：（1），．令，则．在上恒成立，在上单调递增．又，当时，；当时，．即，当时，；当时，，在，上单调递减，在，上单调递增，因此，的最小值为；（2）不等式，即，等价于．设，则由题意得在，内恒成立．，．①当时，，这时，使当时，，从而在，上单调递减，又，当时，，这与在，内恒成立不符．②当时，对于任意的，，从而，这时．设，则，设，则．当时，，在，上单调递增．又，当时，，即．因此，，在，上单调递增．又，当时，，从而．综上，实数的取值范围为，．2．已知函数，．（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若，求的取值范围．解：（1）时，，则，，又，故切点为，故曲线在点，处的切线方程为：；（2），定义域是，令（a），求导（a），故（a）在上单调递增，且（1），故，则当时，恒成立，即（a）（1），故，，时，令，则，故在上单调递增，且，，故存在，，使得，即，，当时，，在上单调递减，当，时，，在，上单调递增，故，综上，所求的取值范围是，．3．已知函数．（1）若在，上为增函数，求实数的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间，上的最小值．解：（1）因为函数在，上是增函数，所以当，时，恒有，，故有，此时令，则有，即得在，上单调递减，故有，因此可得，．（2）根据题意，，则有，存在两条互相垂直的切线，假设切点横坐标分别为，，则有，化简可知，，，，令，则有，，恒成立，即得在上单调递减，又，在上恒成立，即得在上单调递减，，即函数的最小值为．4．函数，．（1）当时，函数在有极值点，求实数的取值范围；（2）对任意实数，，都有成立，求实数的取值范围．解：（1），，，，，，又，则，故在递减，，，故，即的取值范围是；（2），，，故，当，时，，，故在，上递增，，，①当即时，存在，使得递减，又，当时，与矛盾；②，即时，，又，，，则，，而时，故，故函数在区间，递增，又，故，综上：的取值范围是，．5．已知函数的导函数为，其中为自然对数的底数．（1）若，使得，求实数的取值范围；（2）当时，，，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由，可得，因为，使得，所以，使得，则有，所以，所以实数的取值范围为；（2）当时，，，恒成立，所以对，恒成立，即对，恒成立，令，，，由，可得，又，所以，记，，，，则，在，上恒成立，所以，在，上均单调递增，所以，，所以，，，，当时，，所以在区间，上单调递增，故，当时，，记，，，则在上单调递增，故，，由零点存在性定理可知，存在，使得，所以当时，故在区间上单调递减，即，，所以在区间上单调递减，从而，不符合题意．综上所述，，故实数的取值范围为，．6．已知函数，．（1）设函数，当，时，求函数零点的个数；（2）求证：．解：（1）由题意得：，，，①当，时，，，，故，在，上单调递增；②当，时，，，，，在，上单调递增，又，，且的图像在．内连续不断，存在，使得，且当，时，，当，时，，在，内单调递减，在，内单调递增，综合①②可知：在，内单调递减，在，内单调递增，又，，，且的图像在，内连续不断，存在，存在，，使得，函数在，内的零点个数是2；（2）证明：要证，即证：，设，则，在单调递减，，，故要证成立，只需证明，设，则，又设，，在上单调递减，又，（1），存在，使得，即，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，故原命题成立．7．已知函数，．（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，，求的最大值．解：（1），依题意，有变号零点，令，则，所以在有实根，注意到△，所以（1），解得，即．（2），，当时，，，所以成立；当时，，所以．记，则恒成立，，，在单调递增，，若，则，记，则，所以存在，使得，当时，，单调递减，所以时，，不符题意，当时，，即时，单调递增，所以，，符合题意，当时，，由，，所以，而时，，所以成立，综上所述，的最大值为3．8．已知函数．（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）求函数在，的最小值．解：（1）当时，，，又得切点，，所以切线方程为，即；（2）法一：，，，，令，，由，得，所以在上为单调增函数，又，所以在上恒成立，即，当时，，知在上为减函数，从而，当时，，知在上为增函数，从而；综上，当时；当时．法二：，，，，由，得，，，当时，知在上为减函数，从而，当时，知在上为增函数，从而，综上，当时；当时．9．已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，，求证：．解：（1）当时，，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，，则，令，，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而．①又由，可得，所以．②由①②可得．又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，③设，，则，所以在上为增函数，又因为，所以（1），即③式成立．所以获证．