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第四章 导数专练3—零点个数问题(2)-2022届高三数学一轮复习
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这是一份第四章 导数专练3—零点个数问题(2)-2022届高三数学一轮复习,共10页。试卷主要包含了已知函数,已知,且,设函数,其中,已知函数,其中,已知函数,,是的导函数等内容,欢迎下载使用。
第四章 导数专练3—零点个数问题(2)1.已知函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)设,若至少有两个不同的零点,求的最大值.解:(Ⅰ)的定义域是,,当时,恒成立,故函数在上单调递增;当时,令,解得,令,解得,故在上单调递增,在,上单调递减.(Ⅱ),至少有两个不同的零点,则等价于方程至少有两个相异实数根,由,得,设,则,令,则,令,可得或(舍,所以在上,,单调递减,在,上,,单调递增,所以函数的最小值为,又(1),所以当时,,又,因此必存在唯一,,使得,当变化时,,,的变化情况如下表:,10000单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时,有极大值,当时,有极小值(1),又(1),(1),且当时,,所以(1),可得(1)时,直线与函数的图象至少有两个公共点,所以的最大值为.2.已知函数在点,(1)处的切线垂直于轴.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若存在三个都为正数的零点,求证:任意两个零点的差小于2.解:(Ⅰ)的导数为,因为在点,(1)处的切线垂直于轴,所以(1),即,得,则,所以,,时,;时,,所以在区间、单调递增,在区间单调递减.(Ⅱ)证明:设的三个正数的零点分别为,,,且.则(a)(b)(c),由(Ⅰ)可得的极小值为(2),极大值为(2),则.欲证明任意两个零点的差小于2,只需证明,即.因为,,且在上单调递增,只需要证明(a)(c)构造,,,所以在区间上单减,在上单增,,现证明:.令,,则在上单调递减,所以(1),而,得证,所以,(c)(a),得证.所以结论成立.3.已知,且.(1)当时,求证:恒成立;(2)令,当时,无零点,求的取值范围.(1)证明:依题意:当时,,则.令,则恒成立.在上单调递增,,即恒成立,在上单调递增,,得证.(2)解法,,①当时,在递增,,,所以存在使,当,单调递减,当,,单调递增,又,故存在唯一的零点,使,②当时,由得,令,在上恒成立,在上单调递增,,在上恒成立.故在无零点.综上所述:的取值范围是,.解法,令,则,设,则,令,则,,恒成立,在上单调递减,又,所以恒成立,,即在上单调递减,则,无零点,即函数与函数的图象无交点,,即的取值范围是,.4.设函数,其中.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)设,,求证:,,,恒有.(Ⅲ)函数,有两个零点,,,求证.解:(Ⅰ),因为时,由,解得,由,解得,所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.(Ⅱ)证明:由题意,,,,,因为,,所以,在,单调递减,,只需即可,,,令,,由已知,所以,在单调递增且(1),所以,所以,单调递增,,,所以恒有.证明:由题意,有两个零点,,,则有①,②,由②①,得,由(Ⅰ)可知在区间上单调递增,要证,只需证,因为,即需证,只需证,整理得:,即证,令,不妨设,只需证,易得,所以函数在区间上单调递增,所以(1),故有.5.已知函数.(1)证明:函数在区间上存在唯一的极小值点;证明:(1),,令,则,,,在上单调递增,又,,故存在唯一,使得,当,,,,,故在递减,在,递增,故在区间上存在唯一的极小值点.(2)函数的定义域是,,①当时,,,,在上单调递减,又,,故此时的零点为;②当时,,,由(1)知,函数在区间,上有唯一零点;③当时,令,,则,在上单调递增,,又,故对任意,都有,函数在区间上没有零点,综上,函数有且仅有2个零点.6.已知函数,其中.(1)讨论函数的单调性;(2)证明:存在实数,使得函数在区间上有唯一零点.解:(1),,令,△,若△,即,则,,在区间上单调递增,若△,即,则有两个实根,当时,,,在区间上单调递增,当时,,,在区间,上单调递减,当时,,,在区间,上单调递增,综上:时,在区间上单调递增,时,在区间,上递增,在,递减,在,递增;(2)由(1)及(1)可知,若满足题意的实数存在,当且仅当极大值时符合要求,此时即是在区间上的唯一零点,,于是问题转化为:方程组①有解,满足,且实数存在,由①消去整理得到:②,设,则,当,,单调递减,当,,单调递增,在区间上有唯一极小值,结合(1),以及,可知在区间上有唯一零点,即②在区间上有唯一零点,从而由①知,命题得证.7.已知函数,,是的导函数.(1)讨论函数在的单调性;(2)若函数在区间内有两个不同的零点,求实数的取值范围.解:(1),当时,在上恒成立,则在上单调递增,当时,令,,①△即时,在上恒成立,则在上单调递增,②△即时,令,解得:或,令,解得:,故在递增,在,递减,,递增;综上:时,在上单调递增,时,在递增,在,递减,,递增;(2),,显然,令,(1),,①当即时,,,递增,且,,,单调递减,故在至多1个零点,与题意不符,②当即时,,,递减,且,,,单调递增,故在至多1个零点,与题意不符,③当即时,,递减,性质至多1个零点,与题意不符,④当即时,,,单调递减,且,,,单调递增,,,递减,要使有2个零点,只需满足:,即,故,⑤当即时,,,递减,且,,,递增,,,递减,要使有2个零点,则需满足:即,记函数,,,故在递增,故(1),又,故,故不等式无解,综上,时,在区间内有2个不同的零点.8.已知函数.(1)若函数在,上单调递增,求实数的取值范围.(2)讨论函数零点的个数.解:(1)的定义域为,,即在,上恒成立,.(2)的定义域为,.当时,恒成立,在上单调递增,且时,时,有一个零点;当时,(a),且当时,;当时,,在上单调递减,在上单调递增,(a).1.若,即,,在上单调递增,(a),(1),在内有一个零点.又在上单调递减,且(a),,令,,,在上单调递减,;即,,,(a),在上只有一个零点,当时有两个零点;2.若,即,,无零点;3.若,即,,有一个零点;综上所述:当或时,有一个零点;当时,有两个零点;当时,无零点.
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