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    第四章 导数专练3—零点个数问题(2)-2022届高三数学一轮复习

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    第四章 导数专练3—零点个数问题(2)-2022届高三数学一轮复习

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    这是一份第四章 导数专练3—零点个数问题(2)-2022届高三数学一轮复习,共10页。试卷主要包含了已知函数,已知,且,设函数,其中,已知函数,其中,已知函数,,是的导函数等内容,欢迎下载使用。
    第四章  导数专练3零点个数问题(21.已知函数)讨论的单调性;)设,若至少有两个不同的零点,求的最大值.解:(的定义域是时,恒成立,故函数上单调递增;时,令,解得,令,解得上单调递增,在上单调递减.至少有两个不同的零点,则等价于方程至少有两个相异实数根,,得,则,则,可得(舍所以在上,单调递减,在上,单调递增,所以函数的最小值为1,所以当时,,因此必存在唯一,使得变化时,的变化情况如下表:10000单调递增极大值单调递减极小值单调递增时,有极大值,当时,有极小值1),11),且当时,所以1,可得1)时,直线与函数的图象至少有两个公共点,所以的最大值为2.已知函数在点1处的切线垂直于轴.)求的单调区间;)若存在三个都为正数的零点,求证:任意两个零点的差小于2解:(的导数为因为在点1处的切线垂直于轴,所以1,即,得所以时,时,所以在区间单调递增,在区间单调递减.)证明:设的三个正数的零点分别为,且abc由()可得的极小值为2,极大值为2欲证明任意两个零点的差小于2,只需证明,即因为,且上单调递增,只需要证明ac构造所以在区间上单减,在上单增,现证明:上单调递减,所以1,而,得证所以ca,得证.所以结论成立.3.已知,且1)当时,求证:恒成立;2)令,当时,无零点,求的取值范围.1)证明:依题意:当时,,则,则恒成立.上单调递增,,即恒成立,上单调递增,,得证.2解法时,递增,,所以存在使单调递减,当单调递增,故存在唯一的零点使时,由上恒成立,上单调递增,上恒成立.故无零点.综上所述:的取值范围是解法,令,则,则,则恒成立,上单调递减,又,所以恒成立,,即上单调递减,则无零点,即函数与函数的图象无交点,的取值范围是4.设函数,其中)求的单调区间;)设,求证:,恒有)函数有两个零点,求证解:(因为时,由,解得,由,解得所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.)证明:由题意,,因为所以单调递减,,只需即可,由已知,所以单调递增且1所以,所以,单调递增,所以恒有证明:由题意,有两个零点则有,得由()可知在区间上单调递增,要证,只需证,因为即需证,只需证整理得:即证,令,不妨设,只需证易得,所以函数在区间上单调递增,所以1,故有5.已知函数1)证明:函数在区间上存在唯一的极小值点;证明:(1上单调递增,故存在唯一,使得递减,在递增,在区间上存在唯一的极小值点.2)函数的定义域是时,上单调递减,,故此时的零点为时,由(1)知,函数在区间上有唯一零点;时,令上单调递增,,故对任意,都有函数在区间上没有零点,综上,函数有且仅有2个零点.6.已知函数,其中1)讨论函数的单调性;2)证明:存在实数,使得函数在区间上有唯一零点.解:(1,即,则在区间上单调递增,,即,则有两个实根时,在区间上单调递增,时,在区间上单调递减,时,在区间上单调递增,综上:时,在区间上单调递增,时,在区间上递增,在递减,在递增;2)由(1)及1可知,若满足题意的实数存在,当且仅当极大值时符合要求,此时即是在区间上的唯一零点于是问题转化为:方程组有解,满足,且实数存在,消去整理得到:,则单调递减,单调递增,在区间上有唯一极小值结合1以及可知在区间上有唯一零点,在区间上有唯一零点从而由,命题得证.7.已知函数的导函数.1)讨论函数的单调性;2)若函数在区间内有两个不同的零点,求实数的取值范围.解:(1时,上恒成立,则上单调递增,时,令时,上恒成立,则上单调递增,时,令,解得:,解得:递增,在递减,递增;综上:时,上单调递增,时,递增,在递减,递增;2,显然,令1时,递增,且单调递减,故至多1个零点,与题意不符,时,递减,且单调递增,故至多1个零点,与题意不符,时,递减,性质至多1个零点,与题意不符,时,单调递减,且单调递增,递减,要使2个零点,只需满足:,即,故时,递减,且递增,递减,要使2个零点,则需满足:记函数,故递增,1,又,故故不等式无解,综上,时,在区间内有2个不同的零点.8.已知函数1)若函数上单调递增,求实数的取值范围.2)讨论函数零点的个数.解:(1的定义域为,即上恒成立,2的定义域为时,恒成立,上单调递增,且有一个零点;时,a,且当时,;当时,上单调递减,在上单调递增,a1.若,即上单调递增,a1内有一个零点.上单调递减,且a上单调递减,a上只有一个零点,有两个零点;2.若,即无零点;3.若,即有一个零点;综上所述:当时,有一个零点;时,有两个零点;时,无零点.  

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