第四章 导数专练10—含有任意、存在性问题-2022届高三数学一轮复习

这是一份第四章 导数专练10—含有任意、存在性问题-2022届高三数学一轮复习，共8页。试卷主要包含了已知函数，，已知函数等内容，欢迎下载使用。
第四章 导数专练10—含有任意、存在性问题1．已知函数，．（1）已知函数在区间上单调，求实数的取值范围；（2）设，若，，，，求整数的最小值．（参考数据：，解：（1），若函数在区间上单调递增，则在恒成立，所以，解得；若函数在区间上单调递减，则在恒成立，所以，解得，综上，实数的取值范围为，，．（3）由题意得，，因为，所以，即，由，当时，因为（1），则不合题意；当时，由，得或（舍去），当时，，单调递减，当时，，单调递增．所以，即，整理得，，设，，所以单调递增，，又因为（2），（3），所以，故整数的最小值为3．2．已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设函数存在实数，，，使得不等式成立，求的取值范围．解：（Ⅰ），．当时，，时，，当，时，，的减区间为，增区间为，；当时，，在上恒成立，则的减区间为；当时，，的减区间为；当时，，时，，当，时，，的增区间为，减区间为，．综上，当时，的减区间为，增区间为，；当时，的减区间为；当时，的增区间为，减区间为，；（Ⅱ），存在实数，，，使得不等式成立，，，，当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，（e），，，得，又，．3．已知函数．（1）讨论的单调性．（2）若对任意的，，总存在，，使得，证明：．解：（1）函数，，，令，△时，解得时，，则函数在上单调递增．△时，解得，或，则函数在上单调递增．由，解得，．时，，，．函数在上单调递增．时，，．函数在，，上单调递增，在，上单调递减．综上可得：时，函数在上单调递增．时，，．函数在，，上单调递增，在，上单调递减．（2）证明：，，．化为：，整理可得：，令，，可得函数在上单调递减，在上单调递增．（1）．，即，令（a），（a）在，上单调递减，，解得：．4．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）证明：，，，．解：（1），，，，令，解得；令，解得．函数的单调递减区间，单调递增区间为，．（2）证明：，，，要证明．即证明：．即证明：．令，，，（1）．，函数在，上单调递减，（1），，即：，，，成立．5．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若，当，，时，设（a），求（a）的取值范围．解：（1），①当，即时，若或，，若，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；②当，即时，恒成立，在上单调递增；③当，即时，若，，若或，，的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）由（1）知，当时，在上递减，在上递增，由，解得或，①若，即时，在，上递减，；②若，即时，在，上递减，在，上递增，且（1），则；③若，即时，在，上递减，在，上递增，且（1），则，，（a）在上递减，，综上所述，．6．已知函数．（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若存在实数，，使得对于任意的恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）函数的定义域是，，当时，令，解得：，令，解得：或，故在递减，在，递增，在递减；（Ⅱ），即，即存在，，使得，故对于任意恒成立，即，令，即对任意恒成立，，设，，当时，，在单调递增，又，（1），故存在唯一，使得，当，时，，则，减函数，故（1），不符合题意，故，下面证明当时，恒成立，，故，即在，上单调递减，（1），综上：的取值范围是，．7．已知函数，．（1）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）若存在两个不相等的正数，，使得，证明：．解：（1）当时，恒成立等价于，令，则，当时，，，，在，上单调递减，所以（1），所以恒成立．当时，令，，所以在，上单调递减，（1），，由零点存在性定理知，，，使得，且时，，，在上单调递增，所以（1），不满足题意，舍去，综上，．（2）证明：不妨设，则，因为，所以，令，，在上单调递增，，所以，即，所以，即，下证，令，即证，只需证，设，在上恒成立，所以在上单调递减，所以（1），所以．