2023届高三数学一轮复习大题专练10导数双变量与极值点偏移问题2

一轮大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）

1．已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数．

（Ⅰ）若，，

（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．

（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．

（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则．

（Ⅰ）解：（ⅰ）当，，时，，

则（1），，所以（1），

故切点坐标为，切线的斜率为0，

故切线方程为；

由可得，，

令，解得，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

所以当时，取得极小值即最小值，

①当时，无零点；

②当时，在区间，上单调递减，且，

所以是在，上的唯一零点；

③当时，在区间上单调递减，且

又（1），，

所以在区间，上仅有一个零点．

综上所述，当时，在区间，上无零点；

当时，在区间，上仅有一个零点；

（Ⅱ）证明：当，，当时，，

令，，不妨设，，

令

，

其中，

因为，

所以当时，，

故若，且，则．

2．已知函数．

（1）当，时，求的单调区间；

（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；

（3）设，若有两个相异零点，，求证：．

解：（1）当，时，，

，

，令，则，

令，则，

的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）证明：由题可得，

函数有两个不同的极值点，，

方程有两个不相等的正实数根，

于是有解得．

不等式有解，．

．

设（a），（a），

故（a）在上单调递增，故（a），

．故实数的取值范围为．

（3），设的两个相异零点为，，

设，欲证，需证．

，，

，，

，．

要证，即证，

即，即，

设上式转化为，

设，，

在上单调递增，

（1），

，

，

．

3．已知函数．

（1）求函数的图象在点，处的切线方程；

（2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．

（1）解：函数，则，则，又，

则切点为，切线的斜率为1，

所以的图象在点，处的切线方程为，即；

（2）证明：令，解得，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，取得极大值，即为极大值点，

不妨设，由题意可知，，

令，

则，因为，

所以，则单调递减，

又，所以在上恒成立，

等价于在上恒成立，

所以，

因为，，

又在上单调递增，

所以，

故．

4．已知函数有两个不同的零点，，且．

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对任意的，恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）求证：．

解：（Ⅰ）显然不是的零点，令，则，

依题意，直线与函数的图象有两个交点，

又，则函数在，上单调递减，在上单调递增，

当时，，当时，，（1），其草图如下，

由图象可知，实数的取值范围为；

（Ⅱ），即，

，

的一个必要条件是，

又，

，则，

当时，，，，

单调递增，而，

在，上单调递增，故，符合题意，

实数的最大值为2；

（Ⅲ）证明：易知，

，

，，

，，

，即，即，

要证，即证，只需证，

记，则，

易知在上单调递增，

（e），即得证．

5．已知，．

（Ⅰ）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；

（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．

（Ⅰ）解：，，

由（1），得．

（Ⅱ）证明：有两个零点，

即有两个不等根，，

即，

即．

令，则．

记，则．

记，则，

所以（3），即，

即在上单调递增，即（3），

所以，

所以．

6．已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：．

（1）解：的定义域为，且．

当时，，则在上单调递增．

当时，若，则，在上单调递增；

若，则，在上单调递减．

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）证明：当时，，，

所以，

所以．

要证，即证．

因为，所以，即证．

令，则，即证．

令，则，

所以在上单调递减，

所以（1），即，．①

令，则，所以在上单调递增，

则（1），即．②

综合①②得，所以．