第四章 导数专练7—双变量与极值点偏移问题（1）-2022届高三数学一轮复习

这是一份第四章 导数专练7—双变量与极值点偏移问题（1）-2022届高三数学一轮复习，共11页。试卷主要包含了设函数，已知函数，，已知函数有两个不同的零点，已知，函数，已知函数，已知函数有最小值，且等内容，欢迎下载使用。
第四章 导数专练7—双变量与极值点偏移问题（1）1．设函数．（1）当时，求的单调区间是的导数）；（2）若有两个极值点、，证明：．解：（1）当时，，则，，，显然递减，且（1），故当时，，时，，故在递增，在递减；（2）证明：，，由题意知有2个不相等的实数根，即有2个不相等的实数根，，则，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（1），而时，，故的取值范围是，，由，得，故，令，则，，，故不等式只要在时成立，令，，，故在上单调递增，即，故在上单调递减，即，故原不等式成立．2．已知函数，．（1）讨论函数的极值点；（2）若，是方程的两个不同的正实根，证明：．解：（1），，令，△，当时，△，，无极值点，当时，令，解得：，当，，时，，递增，，时，，递减，故极大值点是，极小值点是；综上：时，无极值点，时，极大值点是，极小值点是；（2）由，即，令，，令，得，当时，，当时，，在递减，在，上递增，又有2个零点，，即，解得：，且，两式相减得：，设，，，要证明，即证明，，，即证明，令，，在上单调递减，（1），即．3．已知函数有两个不同的零点（其中为自然对数的底数）．（1）当时，求证：；（2）求实数的取值范围；（3）若函数的两个零点为、，求证：．证明：（1）当时，要证，只需证明，令，则，设，则，当时，，在上，为单调递减函数，此时，所以原不等式成立．解：（2），当时，，当时，当，可得函数在上为单调递减函数，在上为单调递增函数，所以，当时，，不合题意，当时，（1），若，则，当时，，又因为当时，由（1）可得，由得，取满足且，则，所以在上有唯一的零点，综上所述，．证明：（3）函数的两个零点为、，所以，同理，由（1）得，，所以，，所以，因为，所以，所以，同理，所以．4．已知，函数．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）记，（其中为在上的两个零点，证明：．解：（Ⅰ），当时，，在上递增，又，故符合题意，当时，在递减，在递增，，故，又，，解得：，当时，，在上单调递增，当时，，，，不符合题意，综上：．（2）证明：令，则且，记且，由于，故在和上递减，在上递增，且当时，，当时，，当时，，当时，，根据题意可知，，且，先证，即证，即证，显然成立；再证，，，只需证，，，只需证，即证，又，只需证，亦即，即，由知，，，故，即得证．5．已知函数，．（Ⅰ）当时，求函数的值域；（Ⅱ）若函数有两个零点，，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），，，当时，，函数在，单调递增，又（1），当时，，函数在，单调递增，又（1），当时，，又时，，即所求的值域是；（Ⅱ）有两个零点，，由，得，记，则，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，且当时，；当时，；必有．又由（Ⅰ）知当时，，即又，，在单调递减．又令，代入式得，，即，又由题意函数有两个零点，，得，两式相减得，，又，，，，得，又，只要，又，．综上所述，实数的取值范围是．6．已知函数．（1）若单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．解：（1）由题意知对任意，恒成立，即对任意，恒成立，易知函数在上单调递减，故，，故，即的取值范围是，．（2），由题意知，是的两个根，即，是方程的两个根，则，解得：，且，，则，要证，只需证，即证，，，，从而，令，则，，，设函数，，则，设，，，则，易知存在，，使得，且当，时，，当，时，，故函数在，递减，在，递增，故，故在，上单调递减，从而，故，原命题成立． 7．已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，若，是方程的两根，求证：．解：（1），定义域是，，①时，，，在单调递增，②时，，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在，单调递减，综上：时，在单调递增，时，在单调递增，在，单调递减．（2）证明：由题意可知，是函数的零点，，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，故函数要有2个零点，必有（1），即，要证即证，只需证明①，由于，，，（1），函数在，上存在唯一零点，即②，又，令，，，，故，在上单调递增，故，函数在上存在唯一零点，即③，由②③可知①成立，故．8．已知函数有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．解：（Ⅰ）有题意，当时，，在上单增，此时显然不成立，当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，所以，．所以的最大值为1．（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，的两个零点为，，则，即，，不等式恒成立等价于，两式相减得，带入上式得，令，则，，所以函数在上单调递增，（1），得证．