第四章 导数专练12—构造函数证明不等式（2）-2022届高三数学一轮复习

这是一份第四章 导数专练12—构造函数证明不等式（2）-2022届高三数学一轮复习，共8页。试卷主要包含了已知函数在，上单调递减，已知函数，已知函数，等内容，欢迎下载使用。
第四章 导数专练12—构造函数证明不等式（2）1．已知函数在，上单调递减．（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）当实数取最大值时，方程恰有二解，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，，求证：．（注为自然对数的底数）解：（Ⅰ）在，上单调递减，在，上恒成立，在，上恒成立，在，上恒成立，，实数的取值范围为，；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，定义域为，方程恰有二解方程恰有二解方程恰有二解方程恰有二解，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，又当时，；当时，，实数的取值范围为：．（Ⅲ）令，则，由，易得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，（1），即：，，，，，，，，当且仅当时等号成立．2．已知函数．（1）若存在极值，求的取值范围；（2）当时，求证：．解：（1）函数的定义域是，，当时，对任意，，故函数在上单调递增，无极值，当时，当时，，单调递增，当，时，，单调递减，故在处取得极大值，无极小值，综上：若存在极值，则的取值范围是；（2）当时，，设，定义域是，只需证明即可，，设，则，故函数在上单调递增，，（1），有唯一的实根，且，，当时，，当时，，故函数的最小值是，，．3．设，，已知函数在点，处的切线方程为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时，．解：（Ⅰ）的导数为，可得，由切线方程为，可得，可得，由，可得，所以，；（Ⅱ）证明：，即证当时，．先证：．因为，即，得证．再证：，因为，令，则，当时，，递增，所以，得证．由．即有，可得时，，所以当时，；当时，．综上可得，原不等式得证．4．已知函数，，且曲线在处的切线方程为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：．解：（Ⅰ）由已知得，，，，解得：．（Ⅱ）证明：设，则，由得；由得，在上单调递减，在上单调递增，在处取得最小值为，当时，，，，要证，则在上恒成立，只需使在上恒成立，即在上恒成立，设，则，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值也是最小值，为（1），即在上恒成立，原不等式成立．5．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若，求实数的取值范围．（1），函数的定义域为，①当时，，在上单调递增，没有减区间；②当时，令，得，此时函数的增区间为，减区间为；（2），可化为，若，取，，不合题意，故必为正数，不等式，化为，令，有，由函数的定义域为，令有，可得函数的减区间为，增区间为，若，必有（a），得，①当时，，可得；②当时，令，有，可得函数单调递增，又由（e），可得，由上知．6．已知函数．（1）当时，函数的单调区间；（2）当时，证明：在上恒成立；（3）证明：当时，．解：（1）时，，，，令，解得：，时，，递增，，时，，递减，，时，，递增；即在递增，在，递减，在，递增；（2）时，，，，故在递增，则（1），时，在上恒成立；（3）证明：由（2）可知在恒成立，所以在恒成立，下面证，即证2 ，设，，设，，易知在恒成立，所以在单调递增，所以，所以在单调递增，所以，所以，即当时，．   7．已知函数．（1）求的单调区间；（2）当时，证明：．解：（1），令，解得：，令，解得：或，故在递增，在递减，在递增；（2）证明：，设函数，则，令，解得：，令，解得：，故，则当时，，设函数，则，故在，上单调递减，则（1），即，故，即，，，又，．8．已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求证：．解：（1）的定义域是，，①当，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，②当，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，③当时，令恒成立，故在递增，无递减区间，④当，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增，综上：当，在递减，在递增，当，在递增，在递减，在递增，当时，故在递增，无递减区间，当，在递增，在递减，在递增；（2）证明：令，则，，在上单调递增，（e），，设，，则，递增，，即，，使得，即，且当时，，，时，，在递减，在，递增，，设，，则，在上单调递减，，原命题成立．