2022届高考一轮复习第四章导数专练_双变量与极值点偏移问题（Word含答案解析）

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（1）讨论的单调性；
（2）若有2个极值点，，证明：．
解：（1），
，
①若，在上单调递减，在，上单调递增；
②若，令，△，
当时，△，，，
在上单调递减，在，上单调递增；
当时，同理可得，在，，上单调递减，在，上单调递增；
当时，△，恒成立，即恒成立，在上单调递减．
综上所述，当时，的递减区间为，无增区间；
当时，的递减区间为，，，递增区间为，；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
（2）证明：函数有两个极值点，，由（1）可知，且，是方程两个根，
，，
；
令，
则恒成立，
在，上单调递增，
，
即．
2．已知函数有最小值，且．
（Ⅰ）求的最大值；
（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点，，若，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）有题意，，
当时，，在上单增，此时显然不成立；
当时，令，得，此时在上单减，在上单增，
（b），即，
，．
的最大值为1；
（Ⅱ）当取得最大值时，，．
的两个零点为，，则，，
即，，
不等式恒成立等价于．
两式相减得，
代入上式得，
令，，
，其中，；
①当时，，函数在上单调递增，（1），满足题意；
②当时，函数在，上单调递减，此时（1），不满足题意．
综上所述：的取值范围是．
3．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设图数为自然对数的底数）在区间内的零点为，记，（其中，表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：．
解：（1）的定义域是，
，
当时，恒成立，在递增，
当时，令，解得：，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
综上：当时，在递增，
当时，在单调递增，在，单调递减；
（2）证明：，定义域是，
，而，故，在单调递增，
又（1），（2），且在内的图像连续不断，
故根据零点存在性定理，有在上有且只有1个零点，
故存在，使得，即，
且当时，，
当时，，
故，
当时，，
由得单调递增，
当时，，由得单调递减，
若在区间内有2个不相等的实数根，，
要证，即证，
又，而在区间，内单调递减，
故可证，又由，
即证，即，
记，，其中，
记，则，
当时，，当时，，
故的最大值是，而，故，
而，故，
故，
即单调递增，故当时，，
即，故．
4．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，点，，，为曲线上两个不同的点，且若存在，，使曲线在点，处的切线与直线平行，证明：．
解：（1）由题意得，
时，，由，得，解得：，
由，得，解得：，
故函数在递减，在递增，
当时，，由得，解得：，
由，得，解得：，
故函数在递减，在递增，
综上：当时，函数在递减，在递增，
当时，函数在递减，在递增；
（2）证明：由题意知，直线的斜率，
又，，故，
，，，
，，，，
整理，可得，
即，
令，则，欲证成立，等价于证明成立，
即证：，，
令，
则，
，
故在单调递增，故（1），
即成立，故．
5．已知函数有两个零点，，且．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（Ⅰ）解法一：，
当时，，单调递减，不可能有两个零点，不符合题意，
当时，，有一个零点，不符合题意，
当时，令，则，解得，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以当时，有极小值也是最小值，且，
因为有两个零点，所以，
即，即，解得，
此时，，（1），所以，
因为，，
易知当时恒有，所以，
所以，且符合，
所以的取值范围为．
解法二：令，
因为，所以．（2分）
令，则，
令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故当时，有极大值也是最大值，且，
当时，，当时，，当时，，
所以当时，有两个零点，
所以的取值范围为．
（Ⅱ）因为，，
所以，所以，
又因为当时，不等式恒成立，
所以，，
令，因为，所以，则，
所以对恒成立，令，
则，
令，则，当时，，
所以在，上单调递减，（4），
所以，在，上单调递减，
（4），所以．
6．已知函数，．
（1）若，求的最大值；
（2）若函数，讨论的单调性；
（3）若函数有两个极值点，，求证：．
解：（1）当时，，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故极大值也是最大值是（1）．
（2）由已知得，
的定义域是，，
当时，，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，由，解得：或，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，由，解得：或，
故，，时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故时，，当时，单调递增，
当时，由，解得：或，
故，时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，在与，上单调递增，在单调递减，
当时，在上单调递增，
当时，在，单调递增，在，单调递减．
（3）证明：，则的定义域是，
则，若有2个极值点，，
则方程的判别式△，且，，，
又，，即，
，
设，其中，
由，解得：，
由于，即，
在上单调递增，在，上单调递减，
即的最大值是，
从而．
7．已知函数，函数满足．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点，，证明：．
解：（1）由已知得函数的定义域为，
则，
当，即时，在上单调递增，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
综上：时，在上单调递增，
时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：，
，其定义域为，
等价于，即，
设，，
令，则；令，则，
当时单调递增；当时单调递减，
函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
时，时，
（1），
有两个不同的零点，，
且，，
令，则，
在时单调递增，
（1），即时，，又，，
，且时单调递增，，
故而，得证．