第四章 导数专练6—恒成立问题（2）-2022届高三数学一轮复习

这是一份第四章 导数专练6—恒成立问题（2）-2022届高三数学一轮复习，共11页。试卷主要包含了设函数，已知函数，已知函数，，已知函数，为的导函数，函数，已知，设函数等内容，欢迎下载使用。
第四章 导数专练6—恒成立问题（2）1．设函数．（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）当时，求证：当时，恒成立．（参考数据：，，．解：（1），设直线与曲线相切于点，，则，解得，实数的值为；（2）证明：即证对恒成立，先证明，设，则，在递增，在递减，（1），即，当且仅当时取等号，，，，现证明当时，恒成立，令，则，令，则，令，解得，时，，时，，且，，（2），由零点存在性定理可知，存在，，使得，当或时，，当时，，的最小值是或，由，得，，，，当时，恒成立，即得证．2．已知函数．（1）当时，证明：函数的导函数存在唯一的零点；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．（1）证明：当时，，所以，记，所以，又记，所以，所以在区间上单调递减，所以，所以，所以在区间上单调递减，且（2），，由零点存在性定理可得存在唯一，，使得，即，即函数的导函数存在唯一的零点．（2）解：由不等式恒成立，化简可得恒成立，令，，则，当，即时，令，可得，令，可得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以（1），满足题意；当，即时，因为（1），不满足题意，综上所述，实数的取值范围是，．3．已知函数，．（Ⅰ）当时，证明：不等式在，上恒成立；（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数取值的集合．（Ⅰ）证明：当时，令，，则，当时，，所以在，上单调递增，所以，所以，当时，，所以．综上所述，当时，不等式在，上恒成立．（Ⅱ）令，，则，（1）当时，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，当时，由（Ⅰ）得，所以当在，上恒成立时；（2）当时，由题意得在，上恒成立，因为，所以，所以，当时，，由（Ⅰ）得，所以在，上单调递减，所以，所以，所以当在，上恒成立时．综上所述，实数的取值集合为．4．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若在上恒成立，求整数的最大值．（参考数据：，．解：（1），，，①时，在恒成立，在递减，无递增区间，②时，令，解得：，令，解得：，故在递增，在，递减，③时，令，解得：，令，解得：，故在递减，在，递增，综上：时，在递减，在，递增，时，在递减，无递增区间，时，在递增，在，递减；（2）即恒成立，故恒成立，令，则，令，和在递增，在上单调递增，且（3），（4），故存在，使得，此时，时，，单调递减，，时，，单调递增，故，恒成立，，故的最大值是3．5．已知函数，．（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）若在，上恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）当时，，，故，又，故曲线在点，处的切线方程是：；（Ⅱ）设函数，，，由题设条件可知，且，则，，令，解得：，，，，①若，即，当，时，，单调递增，而，，即；②若即，当，时，，当，时，，故在，递减，在，递增，故在处取得最小值，而，，即，综上，实数的取值范围是，．6．已知函数，为的导函数．（1）讨论在区间内极值点的个数；（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由，得，令，则，，，，当时，，单调递增，即在区间内无极值点，当时，，，故，故在单调递增，又，，故存在，使得，且时，，递减，，时，，单调递增，故为的极小值点，此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；综上：当时，在区间内无极值点，当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．（2）若，时，恒成立，则，故，下面证明时，在，恒成立，，时，，故时，，令，，，故，令，则，在区间，单调递增，又，故在，上单调递减，又，，故存在，，使得，且，时，，递增，，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，，，，故单调递减，故，时，即成立，综上，若，时，恒成立，则的取值范围是，．7．函数．（1）求函数的单调区间；（2）若在，恒成立，求实数的取值范围．解：（1），当时，，在递增，当时，令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在，单调递减；（2）在，恒成立，在，恒成立，设，则，设，则，故在，上单调递增，又，（1），故存在唯一，，使得，故当时，，当，时，，故当时，，当，时，，故函数在递增，在，递减，在，递增，故，（2），由得，且，故，，，，，（2），当，时，（2），故，解得：，故的取值范围是，．8．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．解：（1）的定义域，，令，，，令，，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，又，故，即当时，，所以在单调递减，于是当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）不等式等价于，又，故，设，，，，又，故当，时，，所以在，单调递减，于是，故，所以的取值范围为，．9．已知，设函数．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．解：（Ⅰ），且．①当时，，在上单调递增；②当时，，在单调递减；③当时，，时，，单调递减，，时，，单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增；（Ⅱ）设，，．若，则由图象的连续性知，必存在区间，使得，与题意矛盾；则，．，，则单调递增，①若，，恒成立，，符合；②若，，时，，且单调递增，则存在唯一，，且时，，单调递减，，时，，单调递增，．由，可得，且，，时符合．综上，，．10．已知函数．（1）试讨论函数的零点个数；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．解：（1）根据题意，可得，则有：①若，则，此时可得函数在上单调递增，又因为，所以函数只有一个零点；②若，令，则有，所以，此时函数在上单调递增；，此时函数在上单调递减；即得，则有：当时，则，此时函数只有一个零点；当时，即时，则，又因为时，；时，，根据零点存在定理可得，此时函数在上有两个零点．综上可得，当或时，函数只有一个零点；当，，时，函数有两个零点．（2）由（1）可知，当或时，在上单调递增，则有在上恒成立，又因为时，，所以令在上恒成立，即得函数在上单调递增，故有，即得在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，此时当时，，不合题意，综上可得，，即，．