高中数学8.1 基本立体图形第2课时课时训练

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课时素养检测

二十　圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列几何体中是旋转体的是 (　　)

【解析】选ABC.由旋转体的概念可知,选项ABC是旋转体.

2.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为(　　)

A.一个球体

B.一个球体中间挖去一个圆柱

C.一个圆柱

D.一个球体中间挖去一个长方体

【解析】选B.圆面绕着直径所在的轴,旋转而形成球,矩形绕着轴旋转而形成圆柱.

3.如图(1)所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的? (　　)

【解析】选A.因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的,因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成,可排除B、D,再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C,故选A.

4.(多选题)用一个平面去截一个几何体,得到的截面是三角形,这个几何体不可能是              (　　)

A.圆柱   B.圆台   C.球体   D.棱台

【解析】选ABC.圆柱、圆台和球体无论怎样截,截面可能是曲面,也可能是矩形(圆柱),不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.

5.下列说法正确的个数是 (　　)

①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱;

②过圆锥侧面上一点有无数条母线;

③圆锥的母线互相平行.

A.0    B.1    C.2    D.3

【解析】选A.①长方形绕对角线所在直线旋转一周所形成的几何体不是圆柱;②过圆锥侧面上一点(顶点除外)有一条母线;③圆锥的母线交于一点.

6.如图所示的几何体是长征五号运载火箭的顶端部分,则该几何体的构成

是 (　　)

A.一个棱锥,一个圆柱

B.一个圆锥,一个圆柱

C.一个圆锥,一个圆台

D.两个圆台

【解析】选B.由题图可知,该几何体上面是一个圆锥,下面是一个圆柱.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则截面圆的半径为______,球的直径为______. 

【解析】设球心到平面的距离为d,截面圆的半径为r,则πr2=π,所以r=1.设球的半径为R,则R==,故球的直径为2.

答案:1　2

8.在我国古代数学名著《数书九章》中有这样一个问题:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠本两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺.”(注:1丈等于10尺),则这个问题中,葛藤长的最小值为________. 

【解析】由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条直角边(即木棍的高)长24尺,另一条直角边长5×2=10(尺),

因此葛藤长的最小值为=26(尺),即为2丈6尺.

答案:2丈6尺

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.根据下列对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.

(1)一个等腰梯形绕着两底边中点的连线所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体;

(2)一个圆绕其一条直径所在的直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的几何体.

【解析】(1)等腰梯形两底边中点的连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形绕垂直于底边的腰所在直线旋转180°形成半个圆台,故该几何体为圆台,如图(1).

(2)是一个球,如图(2).

10.一个圆台的母线长为12 cm,两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求:

(1)圆台的高.

(2)截得此圆台的圆锥的母线长.

【解析】(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示).

由已知可得上底面圆半径O1A=2 cm,下底面圆半径OB=5 cm,又因为腰长为12 cm,

所以高AM==3(cm).

(2)延长BA,OO1,CD,交于点S,设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm,则由△SAO1∽△SBO可得=,解得l=20,即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共15分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列几何体中 (　　)

A.旋转体3个,台体(棱台和圆台)2个

B.旋转体3个,柱体(棱柱和圆柱)3个

C.柱体3个,锥体(棱锥和圆锥)3个

D.旋转体3个,多面体4个

【解析】选ABC.(1)(2)为柱体,且为多面体;(3)(4)为锥体,且为多面体;(5)为台体,且为多面体;(6)为锥体,且为旋转体;(7)为台体,且为旋转体;(8)为柱体,且为旋转体.

2.圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是 (　　)

【解析】选D.结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A,B,C错误.

3.如图所示,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列方案中,能够完成任务的为              (　　)

A.模块①②⑤       B.模块①③⑤

C.模块②④⑤       D.模块③④⑤

【解析】选A.先将模块⑤放到模块⑥上,如图a所示;再把模块①放到模块⑥上,如图b所示;再把模块②放到模块⑥上,如图c所示.

观察图c可知选择模块①②⑤能够完成任务.

二、填空题(每小题5分,共15分)

4.如图所示的几何体,关于其结构特征,下列说法不正确的是________. 

①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体;

②该几何体有12条棱、6个顶点;

③该几何体有8个面,并且各面均为三角形;

④该几何体有9个面,其中一个面是四边形,其余均为三角形.

【解析】平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥,因此该几何体是这两个四棱锥的组合体,因而四边形ABCD是它的一个截面,而不是一个面,故填④.

答案:④

5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为________. 

【解析】由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,设母线长为l,因为4π=πl2,所以l=2,又半圆的弧长为2π,设底面圆的半径为r,圆锥的底面圆的周长为2πr=2π,所以r=1,所以该圆锥的高为h===.

答案:

6.给出下列说法:

①圆柱的母线与它的轴可以不平行;

②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线,都可以构成直角三角形;

③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线.

其中正确的是________(填序号). 

【解析】由旋转体的形成与几何特征可知①③错误,②正确.

答案:②

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为1∶4,母线长为10 cm,求圆锥的母线长.

【解析】设圆锥的母线长为y cm,圆台的上、下半径分别为x cm、4x cm,作圆锥的轴截面如图,在Rt△SOA中,O′A′∥OA,所以SA′∶SA=O′A′∶OA,即(y-10)∶y=x∶4x,所以y=,所以圆锥的母线长为 cm.

8.如图所示,已知圆锥SO中,底面半径r=1,母线长l=4,M为母线SA上的一个点,且SM=x,从点M拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点A.求:

(1)绳子的最短长度的平方f(x).

(2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离.

(3)f(x)的最大值.

【解析】将圆锥的侧面沿SA展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧AA′的长度L就是圆O的周长,

所以L=2πr=2π.

所以∠ASM=×360°=×360°=90°.

(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,

其值为(0≤x≤4).

f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).

(2)绳子最短时,在展开图中作SR⊥AM,垂足为R,则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离,在△SAM中,因为S△SAM=SA·SM=AM·SR,

所以SR==(0≤x≤4),

即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).

(3)因为f(x)=x2+16(0≤x≤4)是单调递增的,所以f(x)的最大值为f(4)=32.

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