高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图练习，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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课时素养检测
二十一 立体图形的直观图
(25分钟 55分)
一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.下列说法正确的个数是( )
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等;②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等;③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长;④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1B.2C.3D.4
【解析】选A.由正方形的直观图知①②不正确,由直角三角形的直观图知③错误,④正确.
2.用斜二测画法画如图所示直角三角形的水平放置的直观图,正确的是( )
【解析】选B.以直角顶点为坐标原点建立坐标系,由斜二测画法规则知,在直观图中此角变为钝角,排除C和D,又原三角形的高在y轴上,在直观图中在y′轴上,长度减半,故B正确.
3.水平放置的△ABC的斜二测画法直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则AB边上的中线的实际长度为( )
A.2B.2.5C.3D.4
【解析】选B.由直观图可知△ABC是直角三角形,且∠C=90°,BC=4,AC=3,故AB=5.因此AB边的中线长度为 QUOTE AB= QUOTE =2.5.
4.(多选题)关于斜二测画法所得直观图的说法不正确的是( )
A.直角三角形的直观图仍是直角三角形
B.梯形的直观图是平行四边形
C.正方形的直观图是菱形
D.平行四边形的直观图仍是平行四边形
【解析】选ABC.由斜二测画法规则可知,平行于y轴的线段长度减半,直角坐标系变成斜坐标系,而平行性没有改变,故只有选项D正确.
5.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D.2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
【解析】选C.由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,
2 cm和1.6 cm,再结合斜二测画法,可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,
0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
二、填空题(每小题5分,共10分)
6.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′=________.
【解析】因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°,在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.
答案:45°或135°
7.如图所示为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.
【解析】画出直观图(图略),BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点B′到x′轴的距离为 QUOTE .
答案: QUOTE
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图,四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形面积.
【解析】由已知中A′B′C′D′是边长为1的正方形,又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,
可得该四边形的原图形,如图所示:
这是一个底边长为2,高为 QUOTE 的平行四边形,
故原图的面积为2 QUOTE .
【补偿训练】
如图所示,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.
【解析】(1)画直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=O′A′,即CA=C′A′;
(2)过B′作B′D′∥y′轴,交x′轴于D′,在OA上取OD=O′D′,过D作DB∥y轴,且使DB=2D′B′;
(3)连接AB,BC,得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形,如图所示.
9.画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
【解析】(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°,如图①.
(2)画底面.以O为中心在xOy平面内画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度是四棱锥的高.
(4)成图.连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图如图②.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形是( )
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.梯形
【解析】选C.将直观图还原得到平行四边形OABC,如图所示.
由题意知O′D′= QUOTE O′C′=2 QUOTE cm,
OD=2O′D′=4 QUOTE cm,C′D′=O′C′=2 cm,
所以CD=2 cm,OC= QUOTE =6 cm,
又OA=O′A′=6 cm=OC,所以原图形为菱形.
2.如图,已知等腰三角形ABC,则如图所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )
A.①②B.②③C.②④D.③④
【解析】选D.原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图.
3.已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为 QUOTE a的正三角形,则原△ABC的面积为( )
A. QUOTE a2B. QUOTE a2C. QUOTE a2D. QUOTE a2
【解析】选D.正三角形A′B′C′还原回原三角形如图,
过C′作C′D垂直于x′轴于D,因为△A′B′C′是边长为 QUOTE a的正三角形,所以C′D= QUOTE ,过C′作C′E平行于x′轴交y′轴于E,则A′E= QUOTE C′D= QUOTE a,所以,C′对应的原图形中的点C在平面直角坐标系xOy下的纵坐标为2 QUOTE a,即原三角形ABC底边AB上的高为2 QUOTE a,所以,原三角形ABC面积S= QUOTE × QUOTE a×2 QUOTE a= QUOTE a2.
4.如图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的( )
【解析】选C.按斜二测画法规则,平行于x轴或在x轴上的线段的长度在新坐标系中不变,平行于y轴或在y轴上的线段的长度在新坐标系中变为原来的 QUOTE ,并注意到∠xOy=90°,∠x′O′y′=45°,将图形还原成原图形知C图符合要求.
5.已知正三角形ABC的边长为a,那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A. QUOTE a2B. QUOTE a2C. QUOTE a2D. QUOTE a2
【解析】选D.根据题意,建立如图①所示的平面直角坐标系,再按照斜二测画法画出其直观图,如图②中△A′B′C′所示.
易知,A′B′=AB=a,O′C′= QUOTE OC= QUOTE a.
过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′,则C′D′= QUOTE O′C′= QUOTE a.
所以S△A′B′C′= QUOTE A′B′·C′D′= QUOTE a× QUOTE a= QUOTE a2.
6.如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图,若O′B′= QUOTE ,则这个平面图形的面积是( )
A.1B. QUOTE C.2 QUOTE D.4 QUOTE
【解析】选C.由直观图可知,原平面图形是Rt△OAB,其中OA⊥OB,则OB=O′B′= QUOTE ,OA=2O′A′=4,所以S△OAB= QUOTE OB·OA=2 QUOTE .
【点评】平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系:设一个平面多边形的面积为S原,它的斜二测画法直观图的面积为S直,则有S直= QUOTE S原(或S原=
2 QUOTE S直).
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图,若O′P′=3, O′R′=1,则原四边形OPQR的周长为________.
【解析】由直观图可知,原图形是矩形OPQR,且OP=3,OR=2.故原四边形OPQR的周长为10.
答案:10
8.如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′,由图判断△ABO中,AB,BO,BD,OD由小到大的顺序是__________.
【解析】由题图可知,还原直角坐标的图形△ABO中,OD和横轴重合长度不变故OD=2,BD和纵轴平行,长度变为原来的2倍,故BD=4,这样就画出原图形了.由勾股得到AB= QUOTE ,BO=2 QUOTE .故OD答案:OD三、解答题(每小题10分,共30分)
9.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O′B′=4,且△AOB的面积为16,A′B′∥y′轴,过A′作A′C′⊥x′轴,求A′C′的长度.
【解析】因为A′B′∥y′轴,所以△ABO中,AB⊥OB,
又S△ABO=16,OB=O′B′=4,
所以 QUOTE AB·OB=16,所以AB=8,所以A′B′=4,
在Rt△A′B′C′中,A′C′=A′B′·sin 45°
=4× QUOTE =2 QUOTE .
10.用斜二测画法画出图中水平放置的图形的直观图.
【解析】步骤是:
①在图(1)中,取O点为原点,以水平方向的直线为x轴,竖直方向的直线为y轴;过A,B点分别作AM⊥x轴于点M,BN⊥x轴于点N.
②取任一点O′,画出相应的x′轴、y′轴,使∠x′O′y′=45°,如图(2);
在x′轴上取O′M′=OM,O′N′=ON,
过M′,N′分别作M′A′∥O′y′、N′B′∥O′y′,
且M′A′= QUOTE MA,N′B′= QUOTE NB.
③连接O′,A′,B′并擦去辅助线,如图(3),则图形O′A′B′即是水平放置图形OAB的直观图.
11.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
【解析】四边形ABCD的真实图形如图所示,
因为A′C′在水平位置,四边形A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=
∠A′C′B′=45°,
所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D′A′=2,AC=A′C′= QUOTE ,
所以S四边形ABCD=2× QUOTE AC·AD=2 QUOTE .
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