高中数学北师大版 必修第二册第二章 ——平面向量的数量积【知识梳理】

3 平面向量的数量积【知识梳理】

1．两向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

(2)特例：①当θ＝0时，向量a，b同向．

②当θ＝π时，向量a，b反向．

③当θ＝时，向量a，b垂直，记作a⊥b.

2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.

3．投影向量

设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．

4.平面向量的运算性质：

   （2）.0

*            

*，（≠0）         

5．向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a.     (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．   (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

6.平面两向量数量积的坐标表示

（1）设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，

   则：ii = 1，jj = 1，ij = ji = 0

（2）推导坐标公式：

   ∵a = x1i + y1j,  b = x2i + y2j

   ∴ab = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1ij + x2y1ij + y1y2j2

        = x1x2 + y1y2

从而获得公式：ab = x1x2 + y1y2

（3）长度、角度、垂直的坐标表示

   1a = (x, y)    |a|2 = x2 + y2     |a| =

         2若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则=

         3 cos =

         4∵ab  ab = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示原则）