高中数学北师大版 必修第二册第二章 ——平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】

1 平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】

一、向量的概念及其表示

(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．

(2)向量的表示：

①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫作有向线段的长度，记作||.

②向量的表示

(3)向量的模：||(或|a|)表示向量的大小，即长度(也称模)．

二、四种重要的向量

(1)长度为零的向量叫作零向量，记作0或 ，它的方向与任一向量平行．

(2)与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0.

(3)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作a＝b.规定所有的零向量相等．

(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这些向量平行或共线，a与b平行或共线，记作a∥b.

三、向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：．

  规定：零向量与任一向量，都有．

  说明：①共线向量的加法：                    

②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.

作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 . 

                      （1）               （2）

四、向量加法的法则

（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

     表示：．

（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则   

    则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行 

    四边形法则。

五、向量的加法运算律

交换律：． 结合律：．

六、相反向量

与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。

  说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。

       （2）性质：；．

七、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．

八、向量减法的法则

  已知如图有，，求作．

（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．

  说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．

（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，

则．